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QUESTIONS

Soient $\mathrm {A,B,C,D,\ldots }$ tant de points qu’on voudra, disposés d’une manière quelconque dans l’espace et rapportés à trois axes rectangulaires quelconques ; soient $a,a',a''$ les coordonnées du point $\mathrm {A}$ ; $b,b',b''$ celles du point $\mathrm {B}$ ; et ainsi des autres. Soit designé par $\mathrm {M_{ab}}$ le milieu de la droite qui joint les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B,}$ et soient adoptées des notations analogues pour les milieux des droites qui joignent les autres points deux à deux ; les coordonnées du point $\mathrm {M_{ab}}$ seront, comme l’on sait, ${\tfrac {a+b}{2}},{\tfrac {a'+b'}{2}},{\tfrac {a''+b''}{2}};$ celles du point $\mathrm {M_{cd}}$ seront, comme l’on sait, ${\tfrac {c+d}{2}},{\tfrac {c'+d'}{2}},{\tfrac {c''+d''}{2}};$ et il en sera de même pour les autres.

Soient enfin adoptées, pour abréger, les notations que voici :

$(a-b)^{2}+(a'-b')^{2}+(a''-b'')^{2}=\mathrm {S} .(a-b)^{2}$

$\left({\tfrac {a+b}{2}}-{\tfrac {c+d}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {a'+b'}{2}}-{\tfrac {c'+d'}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {a''+b''}{2}}-{\tfrac {c''+d''}{2}}\right)^{2}=\mathrm {S} .\left({\tfrac {a+b}{2}}-{\tfrac {c+d}{2}}\right)^{2}\,;$

en observant que, quelles que soient deux quantités $p,q,$ on a l’équation identique

$p^{2}+q^{2}=2\left\{\left({\tfrac {p+q}{2}}\right)^{2}+\left({\tfrac {p-q}{2}}\right)^{2}\right\},$

on aura

$\mathrm {S} .(a-b)^{2}+\mathrm {S} .(c-d)^{2}=2\left\{\mathrm {S} .\left({\tfrac {a+c}{2}}-{\tfrac {b+d}{2}}\right)^{2}+\mathrm {S} .\left({\tfrac {a+d}{2}}-{\tfrac {b+c}{2}}\right)^{2}\right\}$

c’est-à-dire,

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}=2\left\{{\overline {M_{ac}M_{bd}}}^{2}+{\overline {M_{ad}M_{bc}}}^{2}\right\}\,;}$

ce qui démontre la proposition annoncée.

Loin que la proposition ainsi démontrée en présuppose aucune antre, on peut au contraire en déduire facilement, comme corollaires, toutes celles sur lesquelles on s’est appuyé dans les démonstrations précédentes, et un grand nombre d’autres. M. Bret se contente d’en donner les exemples qui suivent.

On peut d’abord supposer que le quadrilatère est un parallélo-