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RÉSOLUES.

$x={\tfrac {\begin{aligned}&\,\mathrm {A\ A'\ } .\operatorname {Sin} .\alpha \,.\operatorname {Sin} .\alpha '\ .\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''-\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\+&\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''-\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta '''\end{aligned}}{\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''-\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''}}.$

Le problème est impossible si, entre les données, on a la seule équation

$\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''=\operatorname {Sin} .\beta .\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''.$

Mais si l’on a, en outre,

$\left.{\begin{aligned}&\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\alpha .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''\\+&\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\\end{aligned}}\right\}=\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\beta '.\operatorname {Sin} .\beta ''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\+&\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '.\operatorname {Sin} .\alpha ''.\operatorname {Sin} .\alpha '''.\operatorname {Sin} .\beta '''\\\end{aligned}}\right.$

le problème est indéterminé.

Si, en particulier, on a

$\alpha =\beta ,\quad \alpha '=\beta ',\quad \alpha ''=\beta '',\quad \alpha '''=\beta ''',$

la première condition est d’elle-même satisfaite, et la seconde devient

$\mathrm {AA'} .\operatorname {Sin} .\alpha +\mathrm {A''A'''} .\operatorname {Sin} .\alpha ''=\mathrm {A'A''} .\operatorname {Sin} .\alpha '+\mathrm {A'''A} .\operatorname {Sin} .\alpha '''.$

Il faut donc alors que cette condition soit remplie pour que le problème soil possible ; et, si elle l’est en effet, ce problème demeure indéterminé.

Le procédé est exactement le même pour les polygones d’un plus grand nombre de côtés, et ne diffère de celui-ci que pour la longueur.

Lorsque le nombre des côtés du polygone proposé est impair, le dénominateur de la fraction qui exprime la valeur de $x$, au lieu d’être la différence de deux produits, en est la somme ; et conséquemment il n’y a lieu alors ni à impossibilité ni à indétermination.

Scholie. On peut réunir, sous un même énoncé, le problème qui fait l’objet de ce mémoire, et celui qui est résolu à la page 115 de ce volume, comme il suit : À un polygone donné, inscrire un polygone de même nom dont quelques-uns des côtés passent par des points donnés de position, et dont les autres soient parallèles à des droites données de position ?