La différence que présentent, à l’égard du sujet de ce mémoire, les polygones rectilignes, suivant que le nombre de leurs côtés est pair ou impair, n’est pas la seule qui distingue ces deux classes de polygones. Je vais encore en donner deux exemples.
Qu’on demande d’inscrire à un cercle donné un polygone dont les angles soient donnés. Cette condition suffit pour déterminer le polygone cherché, lorsque le nombre de ses côtés est impair, de manière que l’inscription est toujours possible. Au contraire, le nombre des côtés étant pair, l’inscription est possible seulement, lorsque la somme des angles donnés de rang pair est égale à celle des angles donnés de rang impair. L’égalité entre ces deux sommes ayant lieu en effet, le nombre des polygones inscriptibles, sous les conditions données, demeure illimité ; et, pour que le problème soit déterminé, on doit ajouter quelque condition indépendante de la connaissance des angles, et qui soit, par exemple, relative au contour ou à la surface.
De même, qu’on demande de circonscrire à un cercle donné un polygone (dont le nombre des côtés est plus grand que trois) ayant des côtés donnés ; ce problème est susceptible d’une seule solution, si le nombre des côtés du polygone à construire est impair. Mais, que le nombre des côtés de ce polygone soit pair, une condition essentielle, pour que le problème soit possible, est que la somme des côtés de rang pair soit égale à la somme des côtés de rang impair. Cette égalité étant supposée, le problème est susceptible d’un nombre illimité de solutions.
Le procédé que j’ai suivi pour résoudre le problème proposé, consiste à diminuer successivement de deux unités le nombre des côtés du polygone à construire, et partant a réduire finalement la question proposée à l’inscription d’un triangle, d’une part, pour les polygones impairs, et à celle du quadrilatère, pour las polygones pairs, On peut aussi traiter chaque polygone immédiatement, sans ramener la question à un polygone d’un moindre nombre de côtés. Il me suffira d’exposer ce procédé sur un quadrilatère.
