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QUESTIONS

${\begin{array}{lcrl}\mathrm {d'o{\grave {u}}} &&\mathrm {B\ \ X\ \ } :a'\mathrm {X} '=&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &&\mathrm {A''X'':B\,X\ } =&\ \ L\ \,:\mathrm {A\,B\,} ,\\\mathrm {il\ viendra} &&\mathrm {A''X''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\ \,:\mathrm {B'} a'.\\\end{array}}$

Soit en outre

${\begin{array}{lrl}&\ \ L\ \ :\mathrm {B'\ } a'\ \ =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {donc} &\mathrm {A''X''} :a'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a'\,;\\\mathrm {et} &\mathrm {B''X''} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\mathrm {A''B''} :b'a',\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'X':B''X''} =&\ \ M\ \ :\mathrm {A''B''} ,\\\mathrm {il\ viendra\ enfin} &\mathrm {A'X'} :b'\ \,\mathrm {X'\ } =&\ \ M\ \ :b'a'.\\\end{array}}$

On connaît donc la somme $\mathrm {A'} b'$ et le rapport des droites $\mathrm {A'X'}$ et $b'\mathrm {X'}$ ; donc ces droites sont l’une et l’autre connues.

Troisième exemple. Que les droites données soient au nombre de quatre. Soient $\mathrm {AB,A'B',A''B'',A'''B'''}$ (fig. 8), quatre droites données de grandeur, à couper en $\mathrm {X,X',X'',X''',}$ de manière que chacun des quatre rapports $\mathrm {AX:B'X',\ A'X':B''X'',\ A''X'':B'''X''',\ A'''X'':BX,}$ soient égaux à des rapports donnés.

${\begin{array}{lrl}\quad \mathrm {Soit\ fait\ } &\mathrm {AX:B'X'} =&\mathrm {AB:B\ } a',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {BX} :\,a'\mathrm {X'} =&\mathrm {AB:B'} a'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A'''X''':B\ X\ } =&\ \ L\,\ :\mathrm {A\ B\ } ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\ \ L\,\ :\mathrm {B'} a'.\\\quad \mathrm {Soit\ encore} &\ \ L\ \ :\mathrm {B'} a'=&\mathrm {A'''B'''} :a'b',\\\mathrm {d'o{\grave {u}}} &\mathrm {A'''X'''} :a'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {et\ cons{\acute {e}}quemment} &\mathrm {B'''X'''} :b'\mathrm {X'} =&\mathrm {A'''B'''} :a'b'\,;\\\mathrm {posant\ donc} &\mathrm {A''X'':B'''X'''} =&\ \ M\ \,:\mathrm {A'''B'''} ,\\\mathrm {il\ viendra} &\mathrm {A''X''} :b'\mathrm {X'} =&\ \ M\ \,:a'b'.\\\end{array}}$

Partant, on connaît, de grandeur, les droites $\mathrm {A} 'b'$ et $\mathrm {A''B'',}$ et les rapports $\mathrm {A'X':B''X'',\ A''X''} :b'\mathrm {X'} \,;$ donc la question proposée sur quatre droites est ramenée à la question correspondante sur deux droites. Et, comme cette dernière est susceptible d’indétermination et d’impossibilité, aussi la question proposée sur quatre droites est susceptible d’indétermination et d’impossibilité.

On montrera précisément, de la même manière, que la question