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TRIGONOMÉTRIE

$\mathrm {AC}$ et $\mathrm {AC'}$ sont, l’un la somme et l’autre la différence des arcs $\mathrm {DA}$ et $\mathrm {DC}$ ou $\mathrm {DC'}$ : enfin les angles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ABC'}$ sont, l’un la somme et l’autre la différence des angles $\mathrm {DBA}$ et $\mathrm {DBC}$ ou $\mathrm {DEC'}$.

3.^o Que le côté $\mathrm {BC}$ soit donné égal au côté $\mathrm {AB}$ ; l’un des triangles $\mathrm {ABC}$ s’évanouit, parce qu’il se réduit au côté $\mathrm {AB}$. Que le côté $\mathrm {BC}$ soit donné égal au supplément de $\mathrm {AB}$, l’un des triangles devient le fuseau sphérique $\mathrm {ABA'A.}$

4.^o Enfin que l’arc $\mathrm {BC}$ soit donné à la fois plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {petit} \\&\mathrm {grand} \end{aligned}}\right\}$ que le plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grand} \\&\mathrm {petit} \end{aligned}}\right\}$ des deux arcs $\mathrm {AB,A'B}$ ; les deux triangles $\mathrm {BAC,BAC'}$ sont l’un dans celui des fuseaux $\mathrm {ABA'D}$ qui a l’angle aigu en $\mathrm {A}$, et l’autre dans celui de ces fuseaux qui a l’angle obtus en $\mathrm {A}$ ; partant, dans l’un de ces triangles, tel que $\mathrm {BAC'}$, l’angle en $\mathrm {A}$ est aigu, et dans l’autre de ces triangles, l’angle en $\mathrm {A}$ est obtus. Les angles $\mathrm {BCA}$ et $\mathrm {BC'A}$ sont égaux entre eux ; les côtés $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {AC'}$ sont, l’un la somme et l’autre la différence de $\mathrm {DC}$ ou $\mathrm {DC'}$ à $\mathrm {DA}$ ; et les angles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ABC'}$ sont aussi, l’un la somme et l’autre la différence de l’angle $\mathrm {DBC}$ ou $\mathrm {DBC'}$ à l’angle $\mathrm {DBA}$.

Récapitulation. $\mathrm {BC}$ a pour limite en $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grandeur} \\&\mathrm {petitesse} \end{aligned}}\right\}$ que le plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grand} \\&\mathrm {petit} \end{aligned}}\right\}$ des arcs supplémens l’un de l’autre dont le sinus commun est $\mathrm {\operatorname {Sin} .AB\operatorname {Sin} .A.}$

Que $\mathrm {BC}$ soit plus petit que le plus petit des arcs $\mathrm {BA,BA'}$, supplémens l’un de l’autre à la demi-circonférence ; l’angle $\mathrm {A}$ est déterminé à être aigu.

Que $\mathrm {BC}$ soit plus grand que le plus grand des arcs $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BA'} ,$ supplémens l’un de l’autre à la demi-circonférence ; l’angle $\mathrm {A}$ est déterminé à être obtus.

Que $\mathrm {BC}$ soit, à la fois plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {grand} \\&\mathrm {petit} \end{aligned}}\right\}$ que le plus $\left\{{\begin{aligned}&\mathrm {petit} \\&\mathrm {grand} \end{aligned}}\right\}$ des arcs $\mathrm {BA}$ et $\mathrm {BA'} ,$ supplémens l’un de l’autre à la demi-circonférence ; dans l’un des triangles obtenus, l’angle $\mathrm {A}$ est déterminé à être aigu ; et dans l’autre de ces triangles, l’angle $\mathrm {A}$ est déterminé à être obtus.

Le problème : Déterminer un triangle dont on connaît deux côtés et