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RÉSOLUES.

$b'.{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t}}=vz-v'z'.$^[1]$\qquad \mathrm {(O)}$

9. Pour que la hauteur $z'$ du liquide dans le vase $\mathrm {V} '$ soit un maximum, il faut qu’on ait ${\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} t}}=0,$ ce qui donne

$vz-v'z'=0\qquad$d’où$\qquad vz=v'z'\,;$

or $vz$ et $v'z'$ sont les dépenses respectives des vases $\mathrm {V}$ et $\mathrm {V} '$ dans le même temps ; ainsi le liquide sera à sa plus grande hauteur dans le vase $\mathrm {V} '$ lorsque ce vase perdra précisément autant d’eau dans un instant que le vase $\mathrm {V}$ lui en fournira, ce qui était d’ailleurs facile à prévoir.

10. Si entre les équations $\mathrm {(E)}$ et $\mathrm {(O)}$ on élimine $\mathrm {d} t,$ on obtiendra

$b'vz{\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} z}}=b\left(v'a'z-vz\right)\,;$

posant alors $z'=zy$ d’où ${\frac {\mathrm {d} z'}{\mathrm {d} z}}=z{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} z}}+y,$ il viendra, en substituant et divisant par $z,$

$b'v\left(z{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} z}}+y\right)=b(v'y-v),$

ou

${\frac {\mathrm {d} z}{z}}={\frac {b'v\mathrm {d} y}{(bv'-b'v)y-bv}}={\frac {b'v}{bv'-b'v}}\cdot {\frac {(bv'-b'v)\mathrm {d} y}{(bv'-b'v)y-bv}}\,;$

d’où

$\operatorname {Log} .z+\operatorname {Log} .\mathrm {C} ={\frac {b'v}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .\left\{\left(bv'-b'v\right)y-bv\right\}.$

ou en remettant pour y la valeur ${\frac {z'}{z}}$ et réduisant

${\frac {bv'}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .z+\operatorname {Log} .\mathrm {C} ={\frac {b'v}{bv'-b'v}}\operatorname {Log} .\left\{\left(bv'-b'v\right)z'-bvz\right\}.$

1. On parvient sur-le-champ à ce résultat, en remarquant que l’accroissement du volume du liquide dans le vase $\mathrm {V} '$, durant l’instant $\mathrm {d} t,$ peut être également exprimé par $b'\mathrm {d} z'$ et par $(vz-v'z')\mathrm {d} t.$