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PROPRIÉTÉS

$b'^{2}=a^{2}\left(\operatorname {Cos} .^{2}\epsilon +\operatorname {Sin} .^{2}\epsilon \operatorname {Cos} .^{2}\theta \right)\,;$

donc

$a'^{2}+b'^{2}=a^{2}\left(1+\operatorname {Cos} .^{2}theta\right)=a^{2}+b^{2}\,;$

ou

$4a'^{2}+4b'^{2}=4a^{2}+4b^{2}\,;$

c’est-à-dire :

Dans l’ellipse, la somme des quarrés de deux diamètres conjugués quelconques est une quantité constante et égale à la somme des quarrés des deux axes.

10. Désignons par $\alpha$ et $\beta$ les angles que font les diamètres conjugués $2a'$ et $2b'$ avec les diamètres du cercle dont ils sont les projections. Soient $x',y'$ les coordonnées d’un point de l’ellipse rapporté à ces deux diamètres, et $x,y$ les coordonnées correspondantes du cercle, on aura

$x={\frac {x'}{\operatorname {Cos} .\alpha }},\quad y={\frac {y'}{\operatorname {Cos} .\beta }}\,;$

mais on a

$x^{2}+y^{2}=a^{2}\,:$

substituant donc, il viendra

$x'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\beta +y'^{2}\operatorname {Cos} .^{2}\alpha =a^{2}\operatorname {Cos} .^{2}a\operatorname {Cos} .^{2}\beta \,;$

mais on a aussi

$a'=a\operatorname {Cos} .\alpha ,\quad b'=a\operatorname {Cos} .\beta \,;$

substituant donc, il viendra

$b'^{2}x'^{2}+a'^{2}y'^{2}=a'^{2}b'^{2}.$

Ainsi ; L’équation de l’ellipse rapportée à deux diamètres conjugués quelconques, est de même forme que l’équation aux axes.

11. On sait que l’aire de la projection de toute figure plane sur un plan incliné au sien, est le produit de l’aire de cette figure par le cosinus de l’inclinaison des deux plans. En remarquant donc que l’aire du cercle est $\varpi a^{2},$ et désignant par $E$ l’aire de l’ellipse, on aura

$E=\varpi a^{2}\operatorname {Cos} .\theta =\varpi ab=\varpi \left({\sqrt {ab}}\right)^{2}$