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INDÉTERMINÉE.

positifs, qu’il y a d’unités entières dans ${\frac {b}{aa_{1}}}$, et elle ne peut en admettre qu’une de plus.

§. 2.

Solution de l’équation $a_{1}x-ax_{1}=b.$

La méthode à suivre dans ce second cas est exactement la même que pour le premier. En conséquence, les systèmes $\mathrm {(A)}$ et $\mathrm {(D)}$ ne subissent aucun changement, et il suffit d’indiquer les modulations qu’éprouvent les systèmes $\mathrm {(B)}$, $\mathrm {(C)}$, $\mathrm {(E)}$ qui deviennent alors

$\left.{\begin{aligned}a_{1}x-ax_{1}&=+b,\\a_{2}x_{1}-a_{1}x_{2}&=-b,\\a_{3}x_{2}-a_{2}x_{3}&=+b,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\a_{n-2}x_{n-3}-a_{n-3}x_{n-2}&=\pm b,\\a_{n-1}x_{n-2}-a_{n-2}x_{n-1}&=\mp b,\\x_{n-1}-a_{n-1}x_{n}&=\pm b\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B')} \left.{\begin{aligned}x&=x_{2}+q_{1}x_{1},\\x_{1}&=x_{3}+q_{2}x_{2},\\x_{2}&=x_{4}+q_{3}x_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{n-3}&=x_{n-1}+q_{n-2}x_{n-2},\\x_{n-2}&=x_{n}+q_{n-1}x_{n-1},\\x_{n-1}&=\pm b+a_{n-1}x_{n},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C')}$

$\left.{\begin{aligned}x_{n-1}&=\pm \alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},\\x_{n-2}&=\pm \alpha _{n-2}b-a_{n-2}x_{n},\\x_{n-3}&=\pm \alpha _{n-3}b-a_{n-3}x_{n},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\x_{2}&=\pm \alpha _{2}b\mp a_{2}x_{n},\\x_{1}&=\pm \alpha _{1}b\pm a_{1}x_{n},\\x&=\pm \alpha \mp ax_{n}\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(E')}$

On voit qu’ici $x_{n}$ ne sera susceptible que d’une seule limite. Si $n$ est impair, on pourra prendre pour $x_{n}$ un nombre entier positif quelconque ; et même un nombre négatif, pourvu qu’il ne soit pas plus grand que la plus petite des deux quantités ${\frac {\alpha b}{a}},{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}}$.