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ANALISE

$x_{n}\left\{{\begin{array}{ll}>&{\frac {\alpha b}{a}},\\<&{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\\\end{array}}\right\}{\text{si}}\;n\;{\text{est pair}}.$

Il y aura autant de solutions différentes qu’il se trouvera de nombres entiers compris entre ${\frac {\alpha b}{a}}$ et ${\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}}\,;$ s’il ne s’en trouve aucun entre ces deux limites, la proposée n’aura aucune solution en nombres entiers positifs.

On peut, à la simple inspection de la proposée, assigner, au moins à une unité près, le nombre des solutions qu’elle peut admettre.

En effet, depuis ${\frac {\alpha b}{a}}$ jusqu’à ${\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},$ il doit y avoir au moins autant de nombres entiers ou, au plus, autant de nombres entiers plus un que la différence $\pm \left({\frac {\alpha b}{a}}-{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\right)$ contient d’unités entières ; mais on a

${\begin{aligned}\pm \left({\frac {\alpha b}{a}}-{\frac {\alpha _{1}b}{a_{1}}},\right)&=\pm {\frac {b}{aa_{1}}}\left(a_{1}\alpha -a\alpha _{1}\right)\\&=\mp {\frac {b}{aa_{1}}}\left(a_{2}\alpha _{1}-a_{1}\alpha _{2}\right)\\&=\pm {\frac {b}{aa_{1}}}\left(a_{3}\alpha _{2}-a_{2}\alpha _{3}\right)\\&=\ldots \ldots \ldots \ldots \\&={\frac {b}{aa_{1}}}\alpha _{n-1}={\frac {b}{aa_{1}}}\,;\\\end{aligned}}$^[1]

donc la proposée admet autant de solutions, au moins, en nombres

1. Pour obtenir ces résultats, il faut d’abord substituer pour $a$ et $\alpha$, ensuite pour $a_{1}$ et $\alpha _{1}$, $a_{2}$ et $\alpha _{2}$ etc., leurs valeurs urées des équations $\mathrm {(A)}$ et $\mathrm {(D)}$. Il est de plus essentiel de se rappeler qu’il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs, suivant que $n$ est $impair$ ou $pair$.