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ANALISE

$\left.{\begin{aligned}a_{1}x_{1}+ax_{1}&=b,\\a_{2}x_{1}+a_{1}x_{2}&=b,\\a_{3}x_{2}+a_{2}x_{3}&=b,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots ,\\a_{n-2}x_{n-3}+a_{n-3}x_{n-2}&=b,\\a_{n-1}x_{n-2}+a_{n-2}x_{n-1}&=b,\\x_{n-1}+a_{n-1}x_{n}&=b\,;\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(B)} \left.{\begin{aligned}x&=x_{2}-q_{1}x_{1},\\x_{1}&=x_{3}-q_{2}x_{2},\\x_{2}&=x_{4}-q_{3}x_{3},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\x_{n-3}&=x_{n-1}-q_{n-2}x_{n-2},\\x_{n-2}&=x_{n}-q_{n-1}x_{n-1},\\x_{n-1}&=b-a_{n-1}x_{n},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(C)}$

Si maintenant en substitue fa valeur de $x_{n-1}$ dans celle de $x_{n-2}$, celle-ci dans celle de $x_{n-3}$ et ainsi de suite on parviendra, à la fin, à des valeurs entières des $x_{1}$ et $x$ ; mais, en exécutant ces substitutions, on s’aperçoit bientôt qu’elles deviennent plus faciles et plus symétriques, en posant d’abord les équations suivantes :

$\left.{\begin{aligned}\alpha _{n-1}&=1,\\\alpha _{n-2}&=\alpha _{n-1}q_{n-1},\\\alpha _{n-3}&=\alpha _{n-2}q_{n-2}+\alpha _{n-1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\\alpha _{2}&=\alpha _{3}q_{3}+\alpha _{4},\\\alpha _{1}&=\alpha _{2}q_{2}+\alpha _{3},\\\alpha &=\alpha _{1}q_{1}+\alpha _{2},\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(D)}$

Procédant alors aux substitutions, on aura pour 1.^re équation

$x_{n-1}=\alpha _{n-1}b-a_{n-1}x_{n},$

puis$\qquad \qquad \qquad x_{n-2}=-\alpha _{n-1}q_{n-1}b+\left(a_{n-1}q_{n-1}+1\right)\,;$

observant alors que, par les équations $\mathrm {(D)}$, $\alpha _{n-1}q_{n-1}=\alpha _{n-2},$ et que par les équations $\mathrm {(A)}$, $a_{n-1}q_{n-1}+1=a_{n-2},$ il viendra

$x_{n-2}=-\alpha _{n-2}b+a_{n-2}x_{n}.$

En continuant ce procédé, on formera le système d’équations