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PUISSANCES
d’où il suit que la formule
![{\displaystyle {\tfrac {1.2.3\ldots \ldots \ldots n}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots \times {\tfrac {m}{1}}\cdot {\tfrac {m-1}{2}}\ldots {\tfrac {m-n+1}{n}}a^{m-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e66b6994ed0e30c69e5d7f01d7e8acabb949b24)
représentera généralement les quantités monomes qui doivent composer le
eme terme da développement. Or, dans cette expression, le facteur
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}a^{m-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d6a61ea23d15e564c59ae59ff0bc206cc18da67)
est constant, et son co-facteur
![{\displaystyle {\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots n}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c368784f2b19ab8e87372fb9f7c1b93f4867f36a)
qui est variable, à cause des exposans variables ![{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dfa0423ad729cc9b43c1be6c65b94d86296aef6)
est, d’après le précédent mémoire, le terme général du développement de
donc le
eme terme du développement de
sera
![{\displaystyle {\frac {m}{1}}\cdot {\frac {m-1}{2}}\ldots {\frac {m-n+1}{n}}(b+c+d+\ldots )^{n}a^{m-n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef073f6095c73c44bf9cd4d00ab0eca510a8e233)
et conséquemment, en posant
ce développement est
![{\displaystyle a^{m}+{\frac {m}{1}}sa^{m-1}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}s^{2}a^{m-2}+{\frac {m}{1}}{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}s^{3}a^{m-3}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/045013aeb043aa8677074f475c91d54056b87c06)
comme il résulte d’ailleurs du développement de
par la formule du binome.
5. Il résulte de ce que nous venons de dire, que,
étant un nombre entier positif, le développement de
, donné par la règle (3), revient à celui qu’on obtiendrait par l’application de la formule du binome ; puis donc qu’il est démontré que cette formule a lieu quel que soit l’exposant
, il parait légitime d’en conclure que la règle dont il s’agit, pourra également être appliquée quel que soit
, ce qui se vérifie, en effet, pour des cas particuliers.
6. Il suit de tout ce qui vient d’être dit 1.o, que
, exprimant