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DES POLYNOMES.

ici de donner des règles faciles pour efFectuer ce développement d’après la connaissance de son terme général.

2. Il vient d’être prouvé que le terme général du développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m}$ est

${\frac {1.2.3\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots (m-2)(m-1)m}{1.2\ldots \alpha \times 1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,$

avec la condition $\alpha +\beta +\gamma +\delta +\ldots =m\,;$ or, ce terme peut être écrit comme il suit :

${\frac {1.2.3\ldots \alpha .(\alpha +1)(m-2)\ldots (m-2)(m-1)m}{1.2\ldots \alpha \times 1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}a^{\alpha }b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots ,$

et deviendra conséquemment, en réduisant,

${\frac {m(m-1)\ldots \ldots (\alpha +2)(\alpha +1)}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots a^{\alpha }.$

Mais, par ce qui précède, on a

$\alpha =m-\beta -\gamma -\delta -\ldots \,;$

il viendra donc, en substituant,

${\frac {m(m-1)(m-2)\ldots (m-\beta -\gamma -\delta -\ldots +1)}{1.2\ldots \beta \times 1.2\ldots \gamma \times 1.2\ldots \delta \times \ldots }}b^{\beta }c^{\gamma }d^{\delta }\ldots a^{m-\beta -\gamma -\delta -\ldots }.$

ce qui fournit la règle suivante :

Le coefficient d’un produit quelconque des lettres $a,b,c,d,\ldots$ dans le développement de $(a+b+c+d+\ldots )^{m},$ est une fraction qui a pour numérateur le produit d’autant de termes consécutifs de la suite $m,m-1,m-2,\ldots ,$ qu’il y a d’unités dans la somme des exposans des lettres qui multiplient $a$, et pour dénominateur le produit d’autant de termes consécutifs de la suite naturelle, à partir de l’unité, pour chaque lettre qui multiplie $a$, qu’il y a d’unités dans l’exposant de cette lettre.

3. Concevons présentement que le développement soit ordonné par rapport à $a$, et considérons, comme un terme unique, l’ensemble de tous ceux qui sont affectés d’une même puissance de cette