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QUESTIONS

§. 5.

En procédant continuellement de cette manière, on parvient à déterminer les différences quatrièmes d’après la connaissance des différences troisièmes, puis les différences cinquièmes, et ainsi de suite.

En général ; soient $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},\ldots A_{n},A_{n+1}\,;$ termes successifs d’une progression arithmétique, des termes de laquelle on prend les $m.^{emes}$ puissances, et les $(n+1)^{emes}$ différences de ces puissances. Qu’on se soit assuré qu’on a l’équation

$A_{n}^{m}-{\tfrac {n}{1}}A_{n-1}^{m}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}A_{n-2}^{m}-\ldots \pm {\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}A_{3}^{m}\mp {\tfrac {n}{1}}A_{2}^{m}\pm A_{1}^{m}$

$=1\cdot 2\cdot 3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n-1}\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n}\ldots A_{1},$

j’affirme qu’on a aussi l’équation

$A_{n+1}^{m}-{\tfrac {n+1}{1}}A_{n}^{m}+{\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{n-1}^{m}-\ldots \mp {\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{3}^{m}\pm {\tfrac {n+1}{1}}A_{2}^{m}\mp A_{1}^{m}$

$=1\cdot 2\cdot 3\ldots n(A_{2}-A_{1})^{n}\int .P_{m-n}\cdot A_{n+1}\ldots A_{1}.$

En effet, des deux équations supposées vraies pour les termes $A_{n+1}\ldots A_{1}{\text{ et }}A_{n}\ldots A_{1},$ on tire

$A_{n+1}^{m}-{\tfrac {n+1}{1}}A_{n}^{m}+{\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{n-1}^{m}-\ldots \mp {\tfrac {n+1}{1}}\cdot {\tfrac {n}{2}}A_{3}^{m}\pm {\tfrac {n+1}{1}}A_{2}^{m}\mp A_{1}^{m}$

$=1.2.3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n-1}\left\{\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n+1}\cdot A_{1}-\int .P_{m-n+1}\cdot A_{n}\right\}$

$=1.2.3\ldots (n-1)(A_{2}-A_{1})^{n}\int .P_{m-1}\cdot A_{n+1}\ldots A_{1}.$

On a donc le théorème général suivant :

Soit une progression arithmétique des termes de laquelle on prend