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RÉSOLUES.
pour ceux à qui le calcul des différences est familier. Je me contenterai d’en indiquer la marche, sans entrer dans aucun détail.
On sait que
désignant les états successifs d’une fonction
d’une variable
, on a généralement
![{\displaystyle \mathrm {\Delta } ^{n}y=y_{n}-{\tfrac {n}{1}}y_{n-1}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}y_{n-2}-{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}\cdot {\tfrac {n-2}{3}}y_{n-3}+\ldots ~\mathrm {(A)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2e7e1971bed67f597aff7611f1ccf50d5ce4336)
Soit
et supposons que
prenne successivement des accroissernens désignés par
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=\left\{x+\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{2}&=\left\{x+2\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots ,\\y_{n-2}&=\left\{x+(n-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{n-1}&=\left\{x+(n-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m},\\y_{n}&=\left\{x+n\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14514f49c35df9d24399a9fd6fa3836fa2ba7818)
Substituant donc dans l’équation
, il viendra
![{\displaystyle \mathrm {\Delta } ^{n}y=\left\{x+n\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-{\tfrac {n}{1}}\left\{x+(n-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}+{\tfrac {n}{1}}\cdot {\tfrac {n-1}{2}}\left\{x+(n-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-\ldots ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d6ee4131a8b442e82324cc4a38eecd298e06c8)
équation qui, en y supposant
se change en celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {\Delta } ^{m}y=\left\{x+m\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-{\tfrac {m}{1}}\left\{x+(m-1)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}+{\tfrac {m}{1}}\cdot {\tfrac {m-1}{2}}\left\{x+(m-2)\mathrm {\Delta } x\right\}^{m}-\ldots ~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e37927dce42dda86b6d293b40db3791e6201687)
![{\displaystyle \mathrm {(B)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c4f8b7d0e1670356082e53e9dc6cc4095af8b5)
Mais, d’un autre côté, d’après la valeur
et l’égalité des accroissemens de la variable indépendante
, il est connu qu’on doit avoir
[1] ;
![{\displaystyle \qquad \mathrm {(C)} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad94b43de32d9a36c66149fd716f23a8b6f93e8c)
- ↑ Cette proposition n’est qu’un cas particulier de la suivante :