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PROBLÈME

r={\frac {a'a''}{2a}},\quad r'={\frac {a''a}{2a'}},\quad r''={\frac {aa'}{2a''}}~;\;\mathrm {(K)}

valeurs incomparablement plus simples, et peut-être tout aussi faciles à construire que celles de Malfatti ; puisque les longueurs $a,a',a'',$ sont données immédiatement par la construction de la figure^[1].

Si l’on suppose admises les équations $\mathrm {(G)}$ ou, ce qui revient au même, les équations $\mathrm {(D)}$ ; les équations $\mathrm {(C)}$ du problème deviendront les équations $\mathrm {(B)}$ ; et en retranchant successivement chacune de ces dernières de la somme des deux autres, on en déduira les formules $\mathrm {(A)}$ de Malfatti. Le problème ne sera ainsi que du premier degré.

On voit donc combien la solution de ce problème deviendrait facile, si l’on pouvait parvenir à démontrer, a priori, que les droites $kq,k'q',k''q'',$ sont respectivement égales aux droites $m''n',mn'',m'n$ ; ou simplement que $kq=m''n'~;$ c’est sur ce point capital que j’ai cru, Messieurs, devoir appeler l’attention de vos lecteurs.

↑ Nous placerons ici une remarque qui peut souvent être d’une utile application.
Le problème dont il s’agit ici, s’élève naturellement au 8.^e ou tout au moins au 4.^e degré, du moins tant qu’on n’emploie d’autres données que les trois côtés du triangle proposé. Voilà pourtant des valeurs rationnelles extrêmement simples ; mais, sous leur simplicité apparente, elles renferment implicitement les diverses solutions qu’en général le problème peut admettre. Les quantités $a,a',a'',$ sont en effet des fonctions de $\mathrm {R} ,d,d',d'',\rho ,\rho ',\rho '',$ et ces dernières prennent diverses valeurs suivant qu’on les rapporte au cercle inscrit, proprement dit, ou qu’on les considère par rapport à chacun des trois cercles exinscrits.

Il en doit toujours être de même ; c’est-à-dire, qu’en général un problème susceptible d’un grand nombre de solutions, ne peut être que d’un degré élevé, tant qu’on n’y emploie que des données invariables ; et qu’on ne doit espérer de l’abaisser à un degré inférieur, qu’en substituant à ces données d’autres données dont les valeurs ne soient pas les mêmes pour les diverses solutions dont ce problème est susceptible.

Il a souvent été remarqué qu’un heureux choix d’inconnues pouvait simplifier d’une manière notable la solution des problèmes ; mais il n’avait pas été observé jusqu’ici, que des données choisies convenablement peuvent procurer le même avantage.

(Note des éditeurs.)

[1] Nous placerons ici une remarque qui peut souvent être d’une utile application.
Le problème dont il s’agit ici, s’élève naturellement au 8.^e ou tout au moins au 4.^e degré, du moins tant qu’on n’emploie d’autres données que les trois côtés du triangle proposé. Voilà pourtant des valeurs rationnelles extrêmement simples ; mais, sous leur simplicité apparente, elles renferment implicitement les diverses solutions qu’en général le problème peut admettre. Les quantités $a,a',a'',$ sont en effet des fonctions de $\mathrm {R} ,d,d',d'',\rho ,\rho ',\rho '',$ et ces dernières prennent diverses valeurs suivant qu’on les rapporte au cercle inscrit, proprement dit, ou qu’on les considère par rapport à chacun des trois cercles exinscrits.

Il en doit toujours être de même ; c’est-à-dire, qu’en général un problème susceptible d’un grand nombre de solutions, ne peut être que d’un degré élevé, tant qu’on n’y emploie que des données invariables ; et qu’on ne doit espérer de l’abaisser à un degré inférieur, qu’en substituant à ces données d’autres données dont les valeurs ne soient pas les mêmes pour les diverses solutions dont ce problème est susceptible.

Il a souvent été remarqué qu’un heureux choix d’inconnues pouvait simplifier d’une manière notable la solution des problèmes ; mais il n’avait pas été observé jusqu’ici, que des données choisies convenablement peuvent procurer le même avantage.

(Note des éditeurs.)

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