Pour abréger, que les trois premiers points soient désignés par et que le quatrième point donné soit désigné par .
Que les rapports donnés soient des rapports d’inégalité, et que la perpendiculaire abaissée du point doive être plus grande que chacune des autres, Soient prolongées les droites en de manière que les rapports de à et de à soient respectivement égaux aux rapports donnés. Le plan mené par les points , sera le plan cherché.
Remarque I. Pour que le problème (s’il est possible) soit déterminé, les points , ne doivent pas être situés sur une même droite, et le point , s’il est situé sur quelqu’une des droites , ne doit pas coïncider avec l’un des points .
Remarque II. Lorsque l’un des rapports donnés, tel que celui des perpendiculaires abaissées des points et est un rapport d’égalité, le plan cherché est parallèle à la droite ; et partant il passe par la droite menée par parallèlement à .
Si les rapports donnés sont chacun des rapports d’égalité, le plan cherché est parallèle au plan
Remarque III. Que les points donnés doivent être situés de différens côtés du plan cherché ; que, par exemple, le point doive être situé d’un côté de ce plan, et les points du côté opposé.
Alors les points , au lieu d’être sur les prolongemens des droites , devront être sur ces droites elles-mêmes.
Remarque IV. Cette conception géométrique de la solution du lemme proposé me parait plus lumineuse que le développement algébrique (appelé analitique).
Que le point donné soit pris pour l’origine des coordonnées rectangulaires ;
que l’équation du plan cherché soit
