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DES CORPS CÉLESTES.
(30)
![{\displaystyle X''={\frac {(y+\mathrm {Z} )\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16e6f325e6f4596acbc66795bdb9a78602b2106)
Voilà donc
déterminés en fonction de
; et il est essentiel de remarquer 1.o que les valeurs de
sont complètes du premier degré en
; 2.o que celle de
,
aussi du premier degré en
ne renferme point de terme sans
; 3.o que
les valeurs de
sont complètes du second degré ; 4.o enfin
que celle de
, aussi du second degré en
, ne renferme point de terme
sans
.
IX. Il nous faut donc une équation de plus pour déterminer nos
inconnues, et le principe de la gravitation donne, comme l’on sait,
![{\displaystyle Z''^{2}(X^{2}+Y^{2}+Z^{2})^{3}=\mu ^{2}Z^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae93b3b1b714267eae7370e7c4720fad00cc538)
équation dans laquelle
a la même valeur que nous lui avons déjà
assignée
. Faisant donc les substitutions et divisant par
il
viendra
![{\displaystyle (31)\quad \left\{(p'x''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}^{2}\left\{(x+pZ)^{2}+(y+qZ)^{2}+Z^{2}\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5713be7d8a3e60a1e0d09391ca5fede575428ced)
![{\displaystyle =\mu ^{2}(p'y-q'x)^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac2778fe0c6c04c8f06cd33af977ec9cf90885e0)
Cette équation semble devoir monter au 8.me
degré ; mais elle ne s’élève réellement qu’au 7.me, comme nous allons le voir[1].
Le dernier terme de cette équation est
![{\displaystyle (p'y''-q'x'')^{2}(x^{2}-y^{2})^{3}-\mu ^{2}(p'y-q'x)^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/671779c6f4fdd2643f0950b3a023719ca53c77cb)
mais, les lois du mouvement étant, pour la terre, les mêmes que
pour l’astre observé, on a
![{\displaystyle x''=-{\frac {\mu x}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac {1}{2}}}},\qquad y''=-{\frac {\mu y}{(x^{2}+y^{2})^{\tfrac {1}{2}}}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b381e8e7339522504cdb23032000dac4a1299f3f)
- ↑ Cette équation équivaut à celle qui a été donnée par M. Laplace. Voyez la Mécanique céleste, tome 1.er, page 209.