1. Les droites qui joignent les sommets d’un triangle aux milieux des côtés opposés, se coupent toutes trois en un même point qui est le centre de gravité ou le centre des moyennes distances des trois sommets de ce triangle.
triangle, considérés comme des droites indéfinies ; l’un de ces cercles est intérieur au triangle et touche, à proprement parler, ses trois côtés ; les trois autres lui sont extérieurs, et chacun d’eux touche un côté et les prolongemens des deux autres au delà du premier.
Si, pour chacune des droites qui par leur intersection forment un triangle, on regarde comme côté positif celui des deux côtés de cette droite qui regarde l’intérieur du triangle, et comme négatif le côté opposé, on pourra dire que, des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés d’un triangle, un touche ces trois côtés positivement, tandis que chacun des trois autres touche seulement deux côtés positivement et le troisième négativement.
Huit sphères différentes peuvent, en général, toucher à la fois les quatre faces d’un même tétraèdre, considérées comme des places indéfinies ; et ces huit sphères, considérées relativement à leur situation par rapport au tétraèdre, peuvent être distribuées dans les trois classes que voici : 1.o une sphère intérieure qui est proprement la sphère inscrite ; 2.o quatre sphères sur les faces dont chacune touche une face extérieurement et touche les prolongemens des trois autres au delà de cette première ; 3.o enfin trois sphères sur les arêtes, touchant les prolongemens des quatre faces au delà de l’une des arêtes ; ces dernières répondent toujours aux trois arêtes d’un même angle trièdre ou aux trois arêtes d’une même face.
Si, pour chacun des plans qui par leur intersection forment un tétraèdre, on regarde, comme côté positif, celui des deux côtés de ce plan qui regarde l’intérieur du tétraèdre, et comme négatif le côté opposé, on pourra dire que, des huit sphères qui touchent à la fois les quatre faces d’un tétraèdre, celle qui est inscrite touche ces quatre faces positivement ; que les sphères sur les faces touchent seulement trois faces positivement et la quatrième négativement ; qu’enfin celles qui répondent aux arêtes touchent deux faces positivement et les deux autres négativement.
Si, en particulier, le tétraèdre est régulier, les sphères qui répondent aux arêtes ont leur centre à une distance infinie et leur rayon infini ; de plus chacune d’elles peut être indifféremment considérée comme répondant à une arête ou à son opposée ; en sorte qu’on peut dire également, ou que les faces d’un tel tétraèdre ne peuvent être touchées que par cinq sphères seulement, ou qu’elles peuvent être touchées par onze sphères dont six sont infinies.
