Les perpendiculaires élevées aux faces d’un tétraèdre par les centres des cercles circonscrits à ces faces, se coupent toutes quatre en un même point qui est le centre de la sphère circonscrite.
Ces propositions deviennent évidentes si l’on considère que les arêtes d’un tétraèdre sont des cordes de la sphère qui lui est circonscrite, que les cercles circonscrits à ses faces, sont des cercles de cette même sphère, et que les plans perpendiculaires sur les milieux des cordes d’une sphère ainsi que les droites menées par les centres de ses cercles perpendiculairement à leur plan, passent nécessairement par le centre de cette sphère.
1. Les droites qui partagent les angles d’un triangle en deux parties égales, se coupent toutes trois en un même point qui est le centre du cercle inscrit.
2. Les plans qui divisent les angles dièdres d’un tétraèdre en deux parties égales, se coupent tous six en un même point qui est le centre de la sphère inscrite.
Ou autrement,
Les droites qui, partant des sommets des angles trièdres d’un tétraèdre, font des angles égaux avec les faces de ces angles trièdres, se coupent toutes quatre en un même point qui est le centre de la sphère inscrite.
En effet, 1.o les deux faces de l’un quelconque des angles dièdres d’un tétraèdre sont des plans tangens à la sphère inscrite, et il est évident que le plan qui divise en deux parties égales l’angle formé par ces deux-là, doit passer par le centre de la sphère.
2.o Soit un angle trièdre circonscrit à une sphère ; le cône droit inscrit à cet angle trièdre sera comme lui circonscrit à la sphère ; or, il est facile de voir que l’axe de ce cône, lequel ne sera autre chose qu’une droite qui, partant du sommet de l’angle trièdre, fera des angles égaux avec ses faces, passera par le centre de la sphère[1].
- ↑ Il existe toujours quatre cercles tangens à la fois aux trois côtés d’un même
