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QUESTIONS RÉSOLUES.
Cette proposition une fois établie, la proposition principale s’en déduit facilement.
Soient, en effet,
(fig. 15) le centre d’une hyperbole équilatérale,
la direction de son premier axe,
celle du second,
et
ses deux asymptotes,
un diamètre transverse quelconque,
et
des droites joignant les extrémités de ce diamètre à un point quelconque
de la courbe,
et
les points où ces droites coupent le premier axe ; soient enfin
et
les intersections de
avec les asymptotes,
, celles de
avec les mêmes droites, et
l’intersection de
avec
.
Par ce qui précède, l’angle
est complément de l’angle
; il est donc égal à
; mais
et
sont respectivement des angles extérieurs dans les triangles
et
, d’où il suit qu’on doit avoir
ou simplement, à cause de
,
![{\displaystyle \mathrm {Ang.IGC{\text{ ou }}Ang.HGM=Ang.CHF{\text{ ou }}Ang.GHM~;} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d77ec26c24c2758b6f361653566e50f18097af)
et, comme les angles
et
sont les complémens respectifs de ces deux-là, ils doivent aussi être égaux.
M. Fauquier a déduit de cette proposition la conséquence que voici. Soient
le centre (fig, 16) et
les sommets d’une hyperbole équilatérale ; soient pris les arcs
![{\displaystyle \mathrm {A} m=\mathrm {A'} m',\quad \mathrm {A} n=\mathrm {A'} n',\quad {\text{ d’où }}mn=m'n'~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78db7125be1a05795cd907f4df26ff2f9bb3ec6)
soient joints les points
à un point quelconque
de la courbe par des droites coupant l’une des asymptotes en
. Les points
et
, ainsi que les points
et
, se trouvant, par la construction, les extrémités d’un même diamètre, les triangles
et
seront semblables, par ce qui précède, comme ayant des angles égaux en
et
,
et
; on aura donc
![{\displaystyle Ang.m\mathrm {P} n=Ang.m'\mathrm {P} n'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a6df7d09310a09e6f13affb07eb310e776e2ff5)