10
DÉTERMINATION DES ORBITES
(26)
![{\displaystyle X'=x'+\left\{p'-{\frac {p(p''y-q''x)}{2(p'y-q'x)}}\right\}Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1313b28236ce9d88dd3eb5380970aa6b0dab6e70)
(27)
![{\displaystyle Y'=y'+\left\{q'-{\frac {q(p''y-q''x)}{2(p'y-q'x)}}\right\}Z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf7c65936b1798e310e132b85a99655fedc99fb)
si ensuite on substitue dans l’équation (13) les valeurs données par les équations (5, 6, 9, 10), en ayant égard aux équations (19, 21), il viendra
![{\displaystyle (py-qx)Z''=(py''-qx'')Z+(pq''-qp'')Z^{2}+2(pq'-qp')ZZ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cafdf441922f81ea80d13ab5e74b55cc252c58)
multipliant cette équation par
et éliminant
au moyen de l’équation (21), il viendra
![{\displaystyle (py-qx)(p'y-q'x)Z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ab8dcac1a0ebece5dab18fae4c35532b9e15a8)
![{\displaystyle (p'y-q'x)(py''-qx'')Z+\left\{(pq''-qp'')(p'y-q'x)-(pq'-qp')(p''y-q''x)\right\}Z^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5de7fc26b80e324d4155727ed25def84ccae1e8f)
équation qui se réduit à
![{\displaystyle (py-qx)(p'y-q'x)Z=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76ab8dcac1a0ebece5dab18fae4c35532b9e15a8)
![{\displaystyle (p'y-q'x)(py''-qx'')Z+(p'q''-q'p'')(py-qx)Z^{2}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8187929fe915ce5fbef88f3faf2215adcb2cb866)
mais, en vertu de l’équation (19), on a
![{\displaystyle (p'y-q'x)(py''-qx'')=(py-qx)(p'y''-q'x'')~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c494eecaa268ffe6a579429901ef95ae2c010315)
substituant donc et divisant par
on aura
(28)
![{\displaystyle Z''={\frac {Z\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}}~;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e03b7b6b2be6adfb4ed977e90b18937d59d7997)
d’où on conclura, par les équations (9, 10) et par la formule (25), en ayant toujours égard à l’équation (19),
(29)
![{\displaystyle X''={\frac {(x+pz)\left\{(p'y''-q'x'')+(p'q''-q'p'')Z\right\}}{(p'y-q'x)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a393530ee5a1d4b948adc9079fa625516e9072)