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LOGARITHMIQUES.

51. Il est bon de remarquer que la fraction

${\frac {7200}{x^{6}-98x^{4}+2401x^{2}-7200}}$

est toujours réductible. En effet, elle peut toujours être mise sous l’une ou l’autre des deux formes suivantes ;

${\frac {32.9.25}{x^{2}(x+7)^{2}(x-7)^{2}-32.9.25}}$

et

${\frac {32.9.25}{(x+8)(x-8)(x+5)(x-5)(x+3)(x-3)+32.9.25}}$

Or, quelle que soit celle sous laquelle on la considère, on voit aisément que, 1.^o ses deux termes sont divisibles par 4 ou 16 ou 32, quand x est de la forme $2p$ ou $4p$ ou $8p$, et qu’ils sont toujours divisibles par 32, lorsque x est un nombre impair ou de la forme $2p+1$ ; car alors les deux nombres$x+7$ et $x-7$ deviennent pairs, et leur différence étant 14, ou, plus généralement, un nombre impairement-pair, si l’un est divisible par 2, l’autre l’est nécessairement par 4. On peut en dire autant des nombres$x+5{\text{ et }}x-5,x+3{\text{ et }}x-3$.

2.^o Les deux termes de la fraction sont toujours divisibles par 9 ; car x est essentiellement de l’une des trois formes$3p,p+1,3p-1$. Or, la première rend divisibles par 3 les nombres$x,x+3,{\text{ et }}x-3$ ; la seconde, les nombres $x-7,x+8{\text{ et }}x+5$ ; et la troisième, les nombres$x+7,x-8{\text{ et }}x-5$.

3.^o Les deux termes de la fraction sont divisibles par 25, lorsque x est de l’une des trois formes$5p,5p+2{\text{ et }}5p-2$ ; car la première rend divisibles par 5 les nombres$x,x+5{\text{ et }}x-5$ ; la seconde, les nombres $x-7,x+8$${\text{ et }}x+3$ ; et la troisième, les nombres $x+7,x-8{\text{ et }}x-3$.