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LOGARITHMIQUES.

Il est évident, ainsi que nous l’avons déjà fait observer, que les premiers membres de ces équations sont des polynômes qu’on peut substituer à $u$ et $t$ dans l’équation :

$\operatorname {Log} .{\frac {u}{t}}=2\mathrm {M} \left[{\frac {u-t}{u+t}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {u-t}{u+t}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {u-t}{u+t}}\right)^{5}+{\text{ etc.}}\right]\ldots \mathrm {A}$

pour avoir des formules logarithmiques de la forme B (n.^o 2). Mais alors, d’après les remarques du n.^o 3, il est nécessaire, pour que ces formules soient aussi convergentes qu’elles peuvent l’être, de faire en sorte que la différence entre les derniers termes soit aussi petite que possible, sans nuire à la forme de ces polynômes. Cela exige un choix dans les valeurs à donner aux indéterminées qui entrent dans les expressions des racines de nos équations. On trouvera ces valeurs indiquées dans les numéros suivans qui renferment les formules logarithmiques les plus avantageuses qu’il soit possible de déduire des résultats auxquels nous sommes parvenus dans la première partie.

39. 1.^re formule. Si on prend l’équation du second degré :

$x^{2}-1=0{\text{ ou }}(x+1)(x-1)=0$

dont la résultante est $x^{2}=0$, en faisant $u=x^{2}{\text{, et }}t=x^{2}-1$,

il viendra :

$u-t=1,\quad u+t=2x^{2}-1,\quad {\frac {u-t}{u+t}}={\frac {1}{2x^{2}-1}}$

et l’équation $\mathrm {A}$ donnera la formule connue :

$2\operatorname {Log} .x-\operatorname {Log} .(x+1)-\operatorname {Log} .(x-1)$

$=2\mathrm {M} \left[{\frac {1}{2x^{2}-1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{2x^{2}-1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {1}{2x^{2}-1}}\right)^{5}+{\text{ etc.}}\right]$

40. 2.^me formule. Si on suppose $a=2{\text{ et }}b=1$ dans les équations $\mathrm {P}$ (n.^o 29), on aura :