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DE LA CHAÎNETTE.

\mathrm {d} s=\mathrm {d} x{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}={\frac {1}{2}}\mathrm {d} x\left\{e^{-(b-ax)}+e^{(b-ax)}\right\}

en intégrant entre $x=0{\text{ et }}x=x'$ , $s$ devra se changer en $k$ , et il viendra :

\mathrm {(I)} \qquad \qquad \qquad 2ak=e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)-e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)

de plus, les coordonnées des deux extrémités de la courbe devant satisfaire à son équation, on aura :

\mathrm {(II)} \qquad c=e^{b}+e^{-b}\qquad \qquad \mathrm {(III)} \quad 2ay'+c=e^{(b-ax')}+e^{-(ba-x')}

Telles sont les équations qui serviront à déterminer les trois constantes $a,b,c$ .

En prenant la différence entre les deux dernières, il vient :

\mathrm {(IV)} \qquad \qquad \qquad 2ay'=e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)-e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)

prenant alors la demi-somme et la demi-différence des équations $\mathrm {(I)}$ et $\mathrm {(IV)}$ , il viendra :

\mathrm {(V)} \qquad e^{-b}\left({\begin{array}{ll}ax'\\e-1\\\end{array}}\right)=a(y'+k)\qquad \mathrm {(VI)} \quad e^{b}\left({\begin{array}{ll}-ax'\\e-1\\\end{array}}\right)=a(y'-k)

multipliant enfin ces deux dernières équations membre à membre, on aura :

e^{ax'}+e^{-ax'}=2-a^{2}(y'^{2}-k^{2})

Or on a, comme l’on sait^[1] ;

e^{ax'}=1+{\frac {ax'}{1}}+{\frac {a^{2}x'^{2}}{1.2}}+\ldots \quad e^{-ax'}=1-{\frac {ax'}{1}}+{\frac {a^{2}x'^{2}}{1.2}}-\ldots