sans être prouvée ; j’en dirai quelque chose, après que j’aurai développé la démonstration que j’ai principalement en vue.
Cette démonstration suppose qu’on se soit déjà assuré de la vérité de la proposition pour les produits de deux et ceux de trois facteurs entiers. Le moyen le plus naturel et le plus simple d’y parvenir est peut-être de recourir à des considérations géométriques, comme l’a fait M. Legendre, dans son Essai sur la théorie des nombres[1], et comme je le faisais déjà, dans mes cours, avant que ce savant ouvrage me fût connu. Afin de présenter ici une théorie complète, je vais d’abord traiter ces deux cas particuliers, aussi brièvement qu’il me sera possible.
Deux facteurs ne peuvent être multipliés l’un par l’autre que de deux manières différentes, parce qu’il n’y a que deux manières de choisir entre eux le multiplicateur, et que, le choix fait, le multiplicande se trouve de lui-même déterminé. Quant à trois facteurs, on peut en former le produit de six manières différentes, parce qu’il y a trois manières de choisir entre eux le dernier facteur, et que, dans chaque cas, il y a deux manières de former le produit des deux premiers. Si donc on prouve que deux facteurs peuvent donner deux produits, et trois facteurs, six produits qui soient égaux, il sera prouvé que tous les produits, soit de deux, soit de trois facteurs, sont égaux de quelque manière qu’on les forme.
Or, soit premièrement un rectangle dont on ait divisé les deux côtés d’un même angle en plusieurs parties ; que l’en conçoive, par les points de division de chacun de ces côtés, des parallèles à l’autre, ces droites diviseront le rectangle total en rectangles partiels dont le nombre sera le produit du nombre de ceux qui reposeront sur la base par le nombre des divisions de la hauteur ; et, comme il en reposera autant sur cette base qu’elle aura de divisions, on pourra dire, plus simplement, que le nombre des rectangles partiels est le produit du nombre des divisions de la base par le nombre de
- ↑ Voyez pages 2 et suivantes.
