drait, 1.o que celles-ci ne différassent entre elles que par le signe de leur dernier terme, ce qui exigerait qu’on satisfit à l’équation :
2.o que leur résultante commune eût, comme elles, des racines commensurables. Ces conditions paraissent bien difficiles à remplir.
36. Pour avoir maintenant deux équations du cinquième degré, qui ne diffèrent entre elles que par le signe de leur dernier terme, il suffit de se rappeler qu’en changeant les signes des termes de rang pair d’une équation quelconque, on ne fait autre chose que changer les signes des racines : d’où il suit que, si une équation de degré impair est privée de tous ses termes de rang pair, à l’exception du dernier, en changeant le signe de ce dernier terme, on changera les signes de toutes les racines qui, par conséquent, resteront commensurables dans le second cas, si elles étaient commensurables dans le premier. On voit de plus, par le n.o 24, qu’une pareille équation ne peut avoir à la fois pour racines. D’après ces remarques ( qui peuvent d’ailleurs servir à trouver avec facilité les équations P, du n.o 29 ), soit l’équation du cinquième degré :
qui n’a point de second terme. Il suffira, pour qu’elle n’ait de ses termes de rang pair que le dernier, de faire en sorte qu’elle soit également privée de son quatrième terme. Or, après le développement, le coefficient de ou du quatrième terme, est :
Égalant donc cette quantité à zéro, et ordonnant par rapport à , on aura l’équation :
qui donne :
