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LOGARITHMIQUES.

La première donne :

$m={\frac {\beta \gamma +\delta \epsilon -\epsilon n}{\gamma }}$

et, en substituant cette valeur dans la seconde, on trouve l’équation :

$(\gamma +\epsilon )n^{2}-(\beta \gamma +\gamma \delta +2\delta \epsilon )n+\delta (\beta \gamma +\delta \epsilon )=0$

de laquelle on tire :

$n={\frac {\beta \gamma +\gamma \delta +2\delta \epsilon \pm (\beta \gamma -\gamma \delta )}{2(\gamma +\epsilon )}}$

on aura donc :

$n={\frac {\beta \gamma +\delta \epsilon }{\gamma +\epsilon }}\quad {\text{ et }}\quad m={\frac {\delta \gamma +\delta \epsilon }{\gamma +\epsilon }}$

ou

$n=\delta \quad {\text{ et }}\quad m=\beta$

Le second système ne peut convenir à l’objet que nous nous proposons ; quant au premier, dans lequel $m$ et $n$ ont la même valeur, il conduit, en multipliant toutes les racines par $2(\gamma +\epsilon )$, aux deux équations suivantes :

$\left.{\begin{array}{lr}&\left.{\begin{array}{lc}&\left[x+(\beta -\gamma )(\gamma +\epsilon )\right]\left[x+2\delta \epsilon +\beta \gamma -\beta \epsilon -\gamma ^{2}-\gamma ^{3}\right]\times \\&\left[x+(\delta +\epsilon )(\gamma +\epsilon )\right]\left[x+2\beta \gamma +\delta \epsilon -\gamma \delta -\gamma \epsilon -\epsilon ^{2}\right]\\\end{array}}\right\}=0\\{\text{et}}&\\&\left.{\begin{array}{lc}&\left[x+(\beta -\gamma )(\gamma +\epsilon )\right]\left[x+2\delta \epsilon +\beta \gamma -\beta \epsilon +\gamma ^{2}+\gamma ^{3}\right]\times \\&\left[x+(\delta -\epsilon )(\gamma +\epsilon )\right]\left[x+2\beta \gamma +\delta \epsilon -\gamma \delta +\gamma \epsilon +\epsilon ^{2}\right]\\\end{array}}\right\}=0\end{array}}\right\}\mathrm {S}$

Ces équations renferment, dans leur généralité, les équations $\mathrm {I}$ et $\mathrm {K}$ du n.^o 14. On en déduit les premières, en faisant d’abord … $\epsilon =-{\frac {\beta \gamma }{\delta }}$ ; multipliant ensuite toutes les racines pari ${\frac {\delta }{\delta -\beta }}$ et laisant enfin $\gamma =\beta$. Pour avoir les secondes, il suffit de faire $\epsilon =\delta {\text{ et }}\gamma =\beta$.

35. Si, d’après ce que nous avons dit (n.^o 26), on voulait passer à des équations du huitième degré, à l’aide des précédentes, il fau-