Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/48

44

FORMULES.

de toutes les racines pour les rendre positives, faisant ensuite la quantité $a^{2}+2\lambda +\lambda ^{2}$ égale à un carré, et mettant enfin $x^{2}$ à la place de $x$.

31. Prenons à présent les signes inférieurs dans la valeur de $d$ (n.^o 28), nous aurons :

$d={\frac {-2hab-2kab-2hka-2ka^{2})}{h(k-h-2a)}}={\frac {a(k+a)}{h}}$

quantité qui, étant mise à la place de $d$ dans l’expression :

$c={\frac {hd^{2}-hkd-kab\pm (-hd^{2}+hkd+2kad+kab)}{2(hd-ka)}}$

donnera :

$c={\frac {k(k+a)}{h}}={\frac {(a-b)(2a-b)}{a+b}}$

et

$c=-{\frac {b(k-b)}{h}}=-{\frac {b(a-2b)}{a+b}}$

L’une ou l’autre de ces valeurs de $c$, ainsi que la valeur de $d$, qui n’est autre chose que ${\frac {a(2a-b)}{a+b}}$, étant substituées à ces lettres dans les équations $\mathrm {O}$ du n.^o 28, on aura ( après avoir multiplié toutes les racines par $a+b$ ) les deux équations suivantes :

$x^{3}+3(a^{2}-ab+b^{2})x^{2}+2(a^{2}-ab+b^{2})^{2}x-ab(a^{2}-b^{2})(2a-b)(a-2b)=0$

et

$x^{3}+3(a^{2}-ab+b^{2})x^{2}+2(a^{2}-ab+b^{2})^{2}x+ab(a^{2}-b^{2})(2a-b)(a-2b)=0$

ou

$\left[x-b(a-2b)\right]\left[x+(a-b)(2a-b)\right]\left[x+2(a+b)\right]=0$

et

$\left[x+2(2a-b)\right]\left[x+(a-b)(a-2b)\right]\left[x+b(a+b)\right]=0$

dont la résultante commune est :

$x\left[x+(a^{2}-ab+b^{2})\right]\left[x+2(a^{2}-ab+b^{2})\right]=0$

et qui, multipliées l’une par l’autre, donnent l’équation du sixième degré ;