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FORMULES.
29. En prenant les signes supérieurs, on a :
![{\displaystyle d={\frac {-4hab-2ka(a+b+h)}{h(k+h+2a}}={\frac {-4hab-4hak}{4ha}}=-b-k=-a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80f3e7d378799442d7bf42586b8e49345f903604)
.
Cette valeur étant mise pour
dans l’expression des valeurs de
qui, par l’hypothèse, devient :
![{\displaystyle c={\frac {hd^{2}-hkd-kab\pm (hd^{2}-hkd+2kad+kab)}{2(hd-ka}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a2d9908847309e2747e9d87f2030b65b582c734)
on trouve :
![{\displaystyle c={\frac {ha-hk-kb\pm (ha-hk-2ka+kb}{-4a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ebf8452b9ae5395daa7130ad7ac211e078a45a0)
d’où
![{\displaystyle c={\frac {2ha-2ka}{-4a}}=-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bfe97260bfb8c42cda8f2402ed17aa99fcf5dd)
et
![{\displaystyle c={\frac {2hk+2ak-2kb}{-4a}}=-(a-b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b206c2ae851865c2dc999aa2e1d512bd31088ea5)
Substituant ensuite l’une ou l’autre de ces valeurs de
, ainsi que la valeur de
dans les équations O du numéro précédent, ces équations deviennent :
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lr}&x^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})x+ab(a-b)=0\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&x^{3}-(a^{2}-ab+b^{2})x-ab(a-b)=0\\{\text{ou}}\qquad \qquad &\\&\left[x-(a-b)\right]\left[x+2\right]\left[x-b\right]=0\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&\left[x+(a-b)\right]\left[x-2\right]\left[x+b\right]=0\\\end{array}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce482b3c71c1627e858f8f44d06488331596b9a6)
P
Dans cet état, leur résultante commune a pour ses deux racines effectives :
![{\displaystyle x=\pm {\sqrt {a^{2}-ab+b^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7477163778c5951593c64f044851a2e27da47f9)