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LOGARITHMIQUES.

ou

$\left.{\begin{array}{lr}&\left[x+b+d+{\frac {bd-ac}{a+c-b-d}}\right]\left[x+2\right]\left[x+c\right]=0\\{\text{et}}&\\&\left[x+a+c+{\frac {bd-ac}{a+c-b-d}}\right]\left[x+b\right]\left[x+d\right]=0\\\end{array}}\right\}\mathrm {O}$

Si l’on veut encore que ces équations ne diffèrent que par le signe de leur dernier terme, il faudra faire :

$ac(b+d)(a+c-b-d)-a^{2}c^{2}=-bd(a+c)(a+c-b-d)-b^{2}d^{2}$

équation qui, étant résolue par rapport à $c$, donnera ( en faisant pour abréger $a+b=h{\text{ et }}a-b=k$ ) :

$c={\frac {1}{2(hd-ka)}}\left\{hd^{2}-hkd-kab\pm \right.$

$\left.{\sqrt {h^{2}d^{4}-2hk^{2}d^{3}+k(h^{2}k-6hab-4kab)d^{2}+2k^{2}ab(h+2a)d+k^{2}a^{2}b^{2}}}\right\}$

Ces valeurs devant être rationnelles, il faudra que la quantité qui est sous le radical devienne un carré. Supposant donc que la racine de ce carré soit $\pm hd^{2}+\lambda d+kab$, on aura :

${\begin{array}{rrrr}h^{2}d^{4}-2hk^{2}d^{3}+&k(h^{2}k-6hab-4kab)d^{2}+&2k^{2}ab(h+2a)d+k^{2}a^{2}b^{2}=\\=h^{2}d^{4}\pm 2h\lambda d^{3}+&(\pm 2hkab+\lambda ^{2})d^{2}+&2k\lambda abd+k^{2}a^{2}b^{2}\quad \\\end{array}}$

Égalant ensuite les coefficiens de $d$, 1.^o il viendra $\lambda =k(h+2a)$,

2.^o l’équation sera réduite à

$-2hk^{2}d+k(h^{2}k-6hab-4kab)=\pm 2hk(h+2a)d\pm 2hkab+k^{2}(h+2a)^{2}$

et donnera :

${\frac {-3hab\mp hab-2kab-2hka-2ka^{2}}{h(k\pm h\pm 2a)}}$

Cette double valeur de $d$ conduisant à deux résultats également remarquables, nous l’emploirons successivement, 1.^o avec les signes supérieurs, 2.^o avec les signes inférieurs,