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INVARIABILITÉ DES FONCTIONS.

le raisonnement qui a servi à démontrer la première, ou employer un nouveau raisonnement, non moins simple, et fondé sur cette première : nous préférerons ce dernier mode de démonstration.

Pour parvenir de $y_{a'a''}$, à $y_{h'h''}$, considérons l’état intermédiaire $y_{h'a''}$. Cet état se trouve dans la série des états de $\varphi (x',x''_{a''})$, pour lesquels $x''_{a''}$ est constante ; ainsi $\varphi (x',x''_{a''})$ est une fonction d’une seule va- riable $x'$, et un de ses états particuliers est, par hypothèse $y_{a'a''}=\mathrm {F} _{1}(x'_{a'},x''_{a''})$ ; donc toute la série $\varphi (x',x''_{a''})$ est de la forme $\mathrm {F} _{1}(x'_{a'},x''_{a''})$ ; donc, en particulier, pour $x'_{h'},x''_{a''}$ on a : $y_{h'a''}=\mathrm {F} _{1}(x'_{h'},x''_{a''})......(3)$.

Maintenant, la valeur $y_{h'h''}$ est comprise dans la série des états de $\varphi (x'_{h'},x'')$ pour lesquels $x'_{h'}$, est constant, $x''$ seule variable, et dont un état particulier est, (3), $y_{h'h''}=\mathrm {F} _{1}(x'_{h'},x''_{h''})$ ; donc $(1)$ toute la série $\varphi (x'_{h'},x'')$ est de la même forme que $\mathrm {F} _{1}(x'_{h'},x''_{a''})$ ; donc, en particulier $y_{h'h''}=\mathrm {F} _{1}(x'_{h'},x''_{h''})$, comme nous l’avions annoncé.

III. La proposition étant supposé vérifiée jusqu’à $y=\varphi \left[x',x'',\cdots ,x^{(k)}\right]$, elle sera vraie aussi pour $y=\varphi \left[x',x'',\cdots ,x^{(k)},x^{(k+1)}\right]$. En effet, supposons $y_{a'a''\cdots a^{(k)}a^{(k+1)}}=\mathrm {F} _{1}\left[x'_{a'},x''_{a''},\cdots ,x_{a^{(k)}}^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]$^[1] … $(1),$ nous allons voir que$y_{h'h''\cdots h^{(k)}h^{(k+1)}}=\mathrm {F} _{1}\left[x'_{h'},x''_{h''},\cdots ,x_{h^{(k)}}^{(k)},x_{h^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]......(2)$.

Pour nous en convaincre, considérons d’abord l’état intermédiaire $y_{h'h''\cdots h^{(k)}a^{(k+1)}}$, compris dans la série $\varphi \left[x',x'',\cdots ,x^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]$ fonction de $k$ variables (la dernière quantité $x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}$ étant constante), et dont un état particulier est celui supposé $(1)$. D’après l’hypothèse établie pour une fonction de $k$ variables, on doit avoir $\varphi \left[x',x'',\cdots ,x^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]=$$\mathrm {F} _{1}\left[x',x'',\cdots ,x^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]\ldots (3)$, et par conséquent $y_{h'h''\cdots h^{(k)}a^{(k+1)}}=$$\mathrm {F} _{1}\left[x'_{h'},x''_{h''},\cdots ,x_{h^{(k)}}^{(k)},x_{a^{(k+1)}}^{(k+1)}\right]\ldots (4)$.

Maintenant la valeur énoncée $y_{h'h''\cdots h^{(k)}h^{(k+1)}}$ est un état particulier

1. $y_{a'a''\cdots a^{(k)}a^{(k+1)}}$ s’énonce : $y$ numéro, $a$ prime, $a$ seconde,… $a$ accent $k$, $a$ accent $(k+1)$.