Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/386

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.
372
INVARIABILITÉ DES FONCTIONS.


le raisonnement qui a servi à démontrer la première, ou employer un nouveau raisonnement, non moins simple, et fondé sur cette première : nous préférerons ce dernier mode de démonstration.

Pour parvenir de , à , considérons l’état intermédiaire . Cet état se trouve dans la série des états de , pour lesquels est constante ; ainsi est une fonction d’une seule va- riable , et un de ses états particuliers est, par hypothèse  ; donc toute la série est de la forme  ; donc, en particulier, pour on a : .

Maintenant, la valeur est comprise dans la série des états de pour lesquels , est constant, seule variable, et dont un état particulier est, (3),  ; donc toute la série est de la même forme que  ; donc, en particulier , comme nous l’avions annoncé.

III. La proposition étant supposé vérifiée jusqu’à , elle sera vraie aussi pour . En effet, supposons [1] nous allons voir que
.

Pour nous en convaincre, considérons d’abord l’état intermédiaire , compris dans la série fonction de variables (la dernière quantité étant constante), et dont un état particulier est celui supposé . D’après l’hypothèse établie pour une fonction de variables, on doit avoir
, et par conséquent
.

Maintenant la valeur énoncée est un état particulier

  1. s’énonce : numéro, prime, seconde,… accent , accent .