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DES FONCTIONS.

On regarde communément cette proposition, prise dans le sens général de son énoncé, comme un axiome, et néanmoins on croit ne pas pouvoir se dispenser de démontrer diverses propositions particulières qui y sont renfermées. Il paraît cependant qu’il n’est aucun cas où une démonstration soit moins indispensable que dans le cas de l’incommensurabilité, que dans la généralisation des formules, soit de la trigonométrie, soit de la transformation des coordonnées, soit des puissances des polynômes, etc.

La seule condition de rigueur, entre les variables $x$ et $y$ , est qu’elles soient, l’une et l’autre, assujéties à la loi de continuité ; en sorte que l’on puisse concevoir deux états de $x$ si voisins qu’on voudra, et assez voisins pour qu’il leur corresponde deux états de $y$ dont la différence tombe au-dessous d’une limite donnée, quelque petite qu’on la suppose^[1].

pour tout autre état, $x_{h}=-n$ ou $x_{h}={\frac {p}{q}},$ de la variable principale, l’état correspondant $y_{h}$ de la variable dépendante sera exprimé par $\qquad \qquad \mathrm {F} _{1}(x_{h})=\mathrm {F} _{1}(-n)=1+{\frac {(-n)}{1}}z+{\frac {(-n)}{1}}\cdot {\frac {(-n)-1}{2}}z^{2}+\ldots$
ou $\qquad \quad \mathrm {F} _{1}(x_{h})=\mathrm {F} _{1}({\frac {p}{q}})=1+{\frac {({\frac {p}{q}})}{1}}z+{\frac {({\frac {p}{q}})}{1}}\cdot {\frac {({\frac {p}{q}})-1}{2}}z^{2}+\ldots$

↑ Ceci n’a pas besoin d’explication, lorsque la série des états de $x$ étant composée de termes réels, celle des états correspondans de $y$ ne comprend également que des termes réels ; mais on peut considérer une suite d’états imaginaires de $x$ ou, en ne considérant que des états réels de cette variable, il peut se faire que la série des états correspondans de $y$ ne renferme que des termes imaginaires ou soit composée de diverses parties alternativement réelles et imaginaires, et alors on peut demander à quels caractères on reconnaîtra qu’une telle suite de termes est assujétie à la loi de continuité ? Comme cela est sans difficulté pour les termes qui composent les parties réelles de la série, il s’agit seulement d’expliquer dans quel sens on peut dire que, soit deux termes imaginaires, soit un terme réel et un terme imaginaire, se succédant consécutivement, sont plus ou moins voisins.
Pour cela nous remarquerons que la différence de deux pareils termes peut toujours, en général, être supposée imaginaire et de la forme $p+q{\sqrt {-1}}~;$ or il n’y a

[p383-2] Ceci n’a pas besoin d’explication, lorsque la série des états de $x$ étant composée de termes réels, celle des états correspondans de $y$ ne comprend également que des termes réels ; mais on peut considérer une suite d’états imaginaires de $x$ ou, en ne considérant que des états réels de cette variable, il peut se faire que la série des états correspondans de $y$ ne renferme que des termes imaginaires ou soit composée de diverses parties alternativement réelles et imaginaires, et alors on peut demander à quels caractères on reconnaîtra qu’une telle suite de termes est assujétie à la loi de continuité ? Comme cela est sans difficulté pour les termes qui composent les parties réelles de la série, il s’agit seulement d’expliquer dans quel sens on peut dire que, soit deux termes imaginaires, soit un terme réel et un terme imaginaire, se succédant consécutivement, sont plus ou moins voisins.
Pour cela nous remarquerons que la différence de deux pareils termes peut toujours, en général, être supposée imaginaire et de la forme $p+q{\sqrt {-1}}~;$ or il n’y a

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