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PROPRIÉTÉS.

seront obliques entre ces parallèles, et conséquemment plus longues que leur perpendiculaire commune $ab$.

29. Soit désigné par $\alpha$ l’angle des deux diagonales $\mathrm {NQ} ,ab,$ d’une section quelconque, faite par l’axe $\mathrm {NQ}$ ; l’aire de cette section sera, ${\tfrac {1}{2}}\mathrm {NQ} \times ab\cdot \operatorname {Sin} .\alpha ~;$ mais si, du point $a$, on abaisse une perpendiculaire $p$ sur $\mathrm {NQ}$, cette perpendiculaire aura pour expression ${\tfrac {1}{2}}ab\cdot \operatorname {Sin} .\alpha ~;$ en sorte que l’aire de la section deviendra $p\times \mathrm {NQ}$ ; et, comme $\mathrm {NQ}$ est constant, pour toutes les sections que l’on considère ici, il s’ensuit que les aires des sections sont proportionnelles à $p$, et qu’ainsi la plus petite répondra au cas où $p$ sera la plus courte distance entre $\mathrm {BD}$ et $\mathrm {NQ}$ ou, ce qui revient au même, lorsque $p$ sera la moitié de la plus courte distance entre les arêtes opposées $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {BD}$ ou, ce qui est encore la même chose, lorsque le plan $a\mathrm {N} b\mathrm {Q}$ sera perpendiculaire au plan principal $\mathrm {MNPQ}$. Ainsi De tous les plans qui, passant par un même axe, coupent les deux mêmes couples d’arêtes opposées, celui qui donne la plus petite section est le plan perpendiculaire à celui des plans principaux, qui contient, avec l’axe dont il s’agit, celui des deux autres qui se termine aux milieux des arêtes opposées que le plan coupant ne doit pas rencontrer.

30. Mais il faut bien observer que le problème ne sera possible qu’autant que le plan conduit par $\mathrm {NQ}$, perpendiculairement au plan $\mathrm {MNPQ}$, rencontrera les arêtes opposées $\mathrm {AC,BD}$, entre leurs extrémités, et non sur leurs prolongemens. On doit remarquer aussi que si, par l’arête $\mathrm {RS}$, on conduit un plan perpendiculaire à la section principale $\mathrm {MRPS}$, ce plan qui, comme le premier, divisera le tétraèdre en deux parties équivalentes et coupera comme lui les deux couples d’arêtes opposées $\mathrm {AB,DC,AC,DB}$, donnera aussi, comme lui, une section minimum. En général, cette section ne sera pas égale à la première ; car il suivrait de leur égalité que les longueur de deux axes seraient proportionnelles aux plus courtes distances des arêtes opposées auxquelles ils se terminent, ce qui n’est point vrai pour un tétraèdre quelconque. On voit donc que, généralement parlant, il y aura deux sections qui jouiront de la propriété du minimum,