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DU TÉTRAÈDRE.

et, si l’on tire les droites $\mathrm {C} n,\mathrm {C} q,$ on trouvera

$2({\overline {\mathrm {C} n}}^{2}-{\overline {\mathrm {C} q}}^{2})={\overline {\mathrm {AC} }}^{2}-{\overline {\mathrm {BC} }}^{2}.$

22. Si, dans le tétraèdre $\mathrm {ABCD}$ (fig. 1), on suppose droits les angles plans $\mathrm {DAB,DAC,}$ ce qui donnera

$\mathrm {{\overline {AB}}^{2}={\overline {BD}}^{2}-{\overline {AD}}^{2},\quad {\overline {AC}}^{2}={\overline {CD}}^{2}-{\overline {AD}}^{2},}$

on conclura de l’équation $(b),$ au moyen de celles-ci, $\mathrm {NQ=RS~;}$ donc, si l’angle trièdre $\mathrm {A}$ est trirectangle, on aura

$\mathrm {NQ=MP=RS.}$

Ainsi, dans le tétraèdre rectangle, les trois axes sont égaux.

Désignant donc par $p$ l’un de ces axes, la formule (a) donnera $\mathrm {3({\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2})} =4\cdot 3p^{2},{\text{ d’où }}p={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathrm {{\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}+{\overline {AD}}^{2}} }}.$

Ainsi, chacun des axes d’un tétraèdre rectangle est moitié de la distance du sommet de l’angle droit trièdre au point qui aurait les trois arêtes rectangulaires pour ses coordonnées.

Il est facile de voir que les axes se coupent sur cette ligne ; au quart de leur longueur, à partir du sommet. Les sections principales sont alors des rectangles ; l’aire de chacune d’elles est le quart du produit des deux arêtes opposées qui lui sont parallèles ; et, comme elle est aussi égale à la moitié du produit des deux axes qui lui servent de diagonales par le sinus de l’angle qu’ils font entre eux, si on désigne cet angle par $a$, et par a l’angle que fait $2p$ avec $\mathrm {AB}$, on aura ${\tfrac {1}{4}}\mathrm {AB} \cdot \mathrm {DC} ={\tfrac {1}{2}}p^{2}\cdot \operatorname {Sin} .a~;$ on tire de là

$\operatorname {Sin} .a=2\cdot {\frac {\mathrm {AB} }{2p}}\cdot {\frac {\mathrm {DC} }{2p}}=2\operatorname {Cos} .\alpha \cdot \operatorname {Sin} .\alpha =\operatorname {Sin} .2\alpha ~;$

ainsi l’angle de deux axes est double de celui que fait la ligne $2p$ avec l’arête rectangulaire qui passe par le troisième.

23. Soient donc $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ les trois angles que fait respectivement la ligne $2p$ avec les arêtes rectangulaires $\mathrm {AB,AC,AD~;}$ on aura