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DU TÉTRAÈDRE.

gles opposés, on a $4(s^{2}+s'^{2}+s''^{2})=3(c^{2}+c'^{2}+c''^{2})$^[1] ; les faces d’un tétraèdres donnant quatre formules pareilles, si l’on nomme $S^{2}$ la somme des quarrés des 12 droites menées de chaque sommet aux milieux des trois côtés de la face opposée, on aura $\mathrm {4S^{2}=6\left({\overline {AB}}^{2}+{\overline {BC}}^{2}+{\overline {CD}}^{2}+{\overline {DA}}^{2}\right.}$ $+\mathrm {\left.{\overline {AC}}^{2}+{\overline {BD}}^{2}\right)~;}$ donc (17)

$\mathrm {S^{2}=6({\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}).}$

19. Il est facile de voir que les quatre diagonales de l’un quelconque des huit petits parallélipipèdes formés, dans le parallélipipède circonscrit, par les plans principaux, sont égales aux quatre distances du centre du tétraèdre à ses sommets ; puis donc que, dans tout parallélipipède, la somme des quarrés des quatre diagonales est égale à la somme des quarrés des douze arêtes, il s’ensuit qu’on doit avoir

$\mathrm {{\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2}+{\overline {OD}}^{2}={\overline {NQ}}^{2}+{\overline {MP}}^{2}+{\overline {RS}}^{2}.}$

20. Cette proposition, qui a évidemment lieu pour le quadrilatère gauche, est vraie aussi pour le quadrilatère plan. Soit en effet $\mathrm {ABCD}$ ce quadrilatère (fig. 2) par le point $\mathrm {O}$ d’intersection des droites $\mathrm {MP,NQ,RS,}$ qui joignent les milieux de ses côtés opposés et de ses diagonales, soient menées à ses quatre sommets les droites $\mathrm {OA,OB,OC,OD~;}$ les six triangles $\mathrm {AOB,BOC,COD,DOA,AOC,BOD,}$ donneront

${\begin{aligned}\mathrm {2({\overline {OA}}^{2}+{\overline {OB}}^{2})} &\mathrm {={\overline {AB}}^{2}+4{\overline {OQ}}^{2}} ,\\\mathrm {2({\overline {OB}}^{2}+{\overline {OC}}^{2})} &\mathrm {={\overline {BC}}^{2}+4{\overline {OP}}^{2}} ,\\\mathrm {2({\overline {OC}}^{2}+{\overline {OD}}^{2})} &\mathrm {={\overline {CD}}^{2}+4{\overline {ON}}^{2}} ,\\\end{aligned}}$

1. On a, en effet, par ce qui a été démontré dans la note précédente
   ${\begin{aligned}2\mathrm {(C'^{2}+C''^{2})} &\mathrm {=C^{2}+4S^{2}} ,\\2\mathrm {(C''^{2}+C^{2})} &\mathrm {=C'^{2}+4S'^{2}} ,\\2\mathrm {(C^{2}+C'^{2})} &\mathrm {=C''^{2}+4S''^{2}} ~;\\\end{aligned}}$

   ce qui, en ajoutant et transposant, donne l’équation annoncée dans le texte.

   (Note des éditeurs.)