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LETTRE DE M. KRAMP.
Je remarque maintenant que les termes initiaux
et
existent toujours par couples, tellement qu’il leur répondra toujours deux autres termes initiaux
et
liés avec les premiers par les deux équations qui suivent.
![{\displaystyle -p^{2}+2mpP-P^{2}=an^{2}b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e418239628b14a3111a4679702963fa2dc1a4d5b)
![{\displaystyle -q^{2}+2mqQ+Q^{2}=n^{2}b,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e92ce2b3ac142c05cec5c574a9e3cd796508c52)
et autant que ces deux équations admettent de solutions en nombres entiers et positifs, autant aussi il y aura de séries, indépendantes entre elles, dont les termes peuvent résoudre en nombres entiers l’équation
Ces équations, elles-mêmes, à cause de
admettent une solution parfaitement rationnelle ; il en résultera
![{\displaystyle P=mp-anq,\quad Q=np-mq.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ddfdb5298ff67e429cc634235cd51e9b0fd563b)
Faisant
on aura
ainsi
doit être un nombre quarré. Si on fait
ce qui donne l’équation
on voit d’abord que
et
est toujours une des valeurs de
; on aura ensuite
et ces valeurs, qui se déduisent immédiatement de la solution de l’équation
sont les seules que le procédé employé dans mon dernier mémoire peut faire découvrir, tant qu’on se bornera à prendre des nombres entiers pour les valeurs de la quantité que dans ce mémoire j’ai désignée par
. La suite de l’ouvrage apprendra à trouver la liste complette des autres ; et je me bornerai pour le moment à en donner quelques exemples.
![{\displaystyle {\begin{array}{rrllrrrrrrrr}{\text{Pour }}11y^{2}+&5^{2}=&x^{2},&{\text{ on a }}&q=&8,&Q=&8,&p=&6,&P=&27,\\11y^{2}+&7^{2}=&x^{2},&&q=&4,&Q=&5,&p=&15,&P=&18,\\11y^{2}+&19^{2}=&x^{2},&&q=&7,&Q=&20,&p=&30,&P=&69,\\11y^{2}+&37^{2}=&x^{2},&&q=&15,&Q=&36,&p=&62,&P=&125,\\11y^{2}+&43^{2}=&x^{2},&&q=&4,&Q=&95,&p=&45,&P=&125,\\11y^{2}+&53^{2}=&x^{2},&&q=&16,&Q=&65,&p=&75,&P=&222.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d14f47db129dcb996c4f80ac3da4563cbd6fb7)
Le coefficient
donne d’ailleurs
![{\displaystyle m=10,\quad n=3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34dc44df925d36b99903bcbb809e1afaab3b998c)
Le nombre des termes initiaux, indépendans entre eux et des séries qui en dérivent, est encore beaucoup plus grand, lorsque
n’est pas un nombre quarré.
Dans l’équation
je trouve les termes initiaux qui suivent ;
![{\displaystyle {\begin{array}{rrrrr}&p\ldots &q\ldots &P\ldots &Q.\\\hline {\text{I}}\ldots &79\ldots &6\ldots &591\ldots &262.\\{\text{II}}\ldots &81\ldots &10\ldots &529\ldots &234.\\{\text{III}}\ldots &129\ldots &46\ldots &241\ldots &102.\\{\text{IV}}\ldots &159\ldots &62\ldots &191\ldots &78.\\{\text{V}}\ldots &831\ldots &370\ldots &79\ldots &6.\\{\text{VI}}\ldots &929\ldots &414\ldots &81\ldots &10.\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9849b90d3da08a92c9736c471e4133bb4e3bac72)
on a d’ailleurs ici
Agréez ; Messieurs, etc.
Strasbourg, le 28 mars 1811.