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NOTE COMMUNIQUÉE.

NOTE

Communiquée aux rédacteurs des Annales, sur la lettre
de M. Kramp, insérée à la page 319 de ce volume ;

Par M. Tédenat, correspondant de la première classe de
l’Institut, recteur de l’académie de Nismes.

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Toute équation du second degré à deux indéterminées peut toujours, par des transformations, se réduire à la forme suivante :

$y^{2}-Ax^{2}=B.$

La résolution de cette équation, en nombres entiers, lorsqu’elle est possible, peut se ramener à l’intégration d’une équation aux différences finies de cette forme :

$y''-2my'+y=0~;$

son intégration donne

(1) $\ y={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}+{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1},$

(2) $\ x={\frac {Y+X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m+n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}-{\frac {Y-X{\sqrt {A}}}{2{\sqrt {A}}}}\left\{m-n{\sqrt {A}}\right\}^{\zeta -1}.$

Dans ces formules $Y,X,$ sont les plus petites valeurs entières de $y,x$ ; qui satisfassent à l’équation $y^{2}-Ax^{2}=B.$

$m,n,$ sont deux nombres entiers satisfaisant à l’équation $m^{2}-An^{2}=1.$

Je me propose, dans une autre circonstance, de démontrer toutes ces propositions, ainsi que beaucoup d’autres sur les fractions-continues.

L’équation que M. Kramp se propose de résoudre (pag. 283) est celle-ci

$y^{2}-11x^{2}=49.$

Les plus petites valeurs entières de $m,n,$ qui satisfassent à l’équation $m^{2}-11n^{2}=1$ sont $m=10,n=3~;$ celles de $Y,X,$ sont $Y=7,X=0.$