Cette expression est nécessairement équivalente à celle qui a été donnée plus haut, et cependant il ne parait pas facile de ramener l’une à l’autre. La difficulté tient à ce que, parmi le grand nombre des relations qui existent entre les données, on n’aperçoit pas facilement quelles sont celles qui peuvent le mieux opérer la transformation.
Le problème pourrait être énoncé de cette manière générale : Trois droites indéfinies étant tracées sur un même plan, décrire sur ce plan trois cercles de manière que chacun d’eux touche les deux autres et deux des droites données ; considéré sous ce point de vue, il peut admettre jusqu’à 32 solutions.
Pour s’en convaincre, on peut remarquer que ce problème n’est qu’un renversement de celui-ci : Trois cercles se touchant deux à deux sur un plan, décrire sur ce plan trois droites telles que chacune d’elles touche deux des cercles donnés ; et il n’est pas difficile de voir que le premier problème doit admettre autant de cas que celui-ci.
Or, lorsque trois cercles se touchent deux à deux, ou ils se touchent tous extérieurement (fig. 9), ou bien, deux d’entre eux se touchant extérieurement, le troisième les enveloppe tous deux (fig. 10), ou enfin, deux d’entre eux se touchant extérieurement, le troisième touche l’un d’eux extérieurement et enveloppe l’autre (fig. 11). Nous ne parlons pas du cas ou (fig. 12) le cercle moyen, enveloppant le plus petit, serait lui-même enveloppé par le plus grand, attendu qu’alors les tangentes communes aux cercles pris deux à deux, se confondraient en une droite unique.
Observons encore que, pour deux cercles qui se touchent extérieurement (fig. 13), il existe trois tangentes communes, tandis qu’il n’en existe qu’une seule (fig. 14) lorsque l’un des cercles est intérieur à l’autre.
D’après ces diverses observations, il est aisé de voir que, pour la figure 9, il peut exister 27 systèmes distincts de trois droites touchant les cercles deux à deux ; qu’il en existe, pour la figure 10 ; et qu’enfin il en existe 2 seulement pour la figure 11, ce qui fait en tout ou 32, comme nous l’avions annoncé.
