Messieurs,
Par la note que vous avez placée au bas de la table sommaire du n.o IX de votre précieux recueil, on voit que vous n’aviez reçu, jusqu’alors, aucune solution du dernier des deux problèmes proposés dans le n.o VI. Je prends la liberté, Messieurs, de vous annoncer que ce problème a été résolu par M. Malfatti, géomètre italien très-distingué. Sa solution est imprimée dans la I.re partie du tome X des Mémoires de la société italienne des sciences, publié en 1803. Cependant, comme il est très-utile de rendre familières de semblables questions, et de connaître les procédés les plus simples, parmi ceux qui sont propres à les résoudre, je me permets de joindre ici la construction de M. Malfatti, afin que vous puissiez la comparer avec celles qui vous parviendront. Ce géomètre l’a déduite de formules qui paraissent assez simples, eu égard à la nature du problème. Je les supprime ici pour ne pas dépasser les bornes d’une lettre.
Je saisis avec empressement, Messieurs, l’occasion favorable que m’offre cette circonstance, pour vous renouveler, etc.
Voici à quoi se réduit la construction de M. Malfatti :
Soit (fig. 8) le triangle donné ; soit le centre du cercle inscrit et soient menées dont la première coupe le cercle inscrit en ; et soient les points de contact de ce cercle avec .
Cela posé, soit prolongé indéfiniment au de-la de ; soit portée sur son prolongement ou de en et de en ; de soient retranchées et soit élevée à , par son milieu, une perpendiculaire coupant en et en ; alors sera le centre de celui des trois cercles cherchés qui doit être inscrit à l’angle , et en sera le rayon. On déterminera ensuite les deux autres cercles par des constructions semblables.
L’extrême simplicité de cette construction, contraste d’une manière frappante avec la complication du problème, et montre toute l’influence que peut exercer le choix des données. Elle donne pour le rayon, l’expression suivante :
