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QUESTIONS.

alors $\mathrm {R}$ sera le rayon du cercle inscrit ; $d,d',d'',$ seront les distances respectives de son centre aux points $p,p',p'',$ et $\rho ,\rho ',\rho '',$ seront les distances respectives des mêmes points aux points de contact de ce cercle avec les côtés du triangle ou, ce qui revient au même, les rayons des cercles qui, ayant pour centres les points $p,p',p'',$ se toucheraient deux à deux. On déduira d’ailleurs facilement des équations ci-dessus les relations suivantes :

$\rho +\rho '+\rho ''=s,\left.{\begin{aligned}\rho '\rho ''d^{2}&=\mathrm {R} ^{2}c'c'',\\\rho \rho ''d'^{2}&=\mathrm {R} ^{2}cc''\ ,\\\rho \rho 'd''^{2}&=\mathrm {R} ^{2}cc'\ \ ,\\\end{aligned}}\right.\quad \mathrm {R} cc'c''=sdd'd'',\left.{\begin{aligned}\rho d'd''&=\mathrm {R} cd\ \ \ ,\\\rho 'dd''&=\mathrm {R} c'd'\ ,\\\rho ''dd'&=\mathrm {R} c''d''.\\\end{aligned}}\right.$

Cela posé : soient abaissées de $o$ et $o'$ sur $c''$ les perpendiculaires $om=r,$$o'm'=r'~;$ soit joint $oo'$, et, par $o$ soit menée à $c''$ une parallèle se terminant en $l$ à $o'm',$ le triangle $olo'$ rectangle en $l,$ donne

$ol=c''-pm-p'm'={\sqrt {(r'+r)^{2}-(r'-r)^{2}}}=2{\sqrt {rr'}}~;$

mais on a

$pm=r\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}p=r{\sqrt {\frac {\rho s}{\rho '\rho ''}}}={\tfrac {\rho }{\mathrm {R} }}r,\ p'm'=r'\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}p'=r{\sqrt {\tfrac {\rho 's}{\rho \rho ''}}}={\tfrac {\rho '}{\mathrm {R} }}r'~;$

substituant donc, il viendra

$c''-{\frac {\rho }{\mathrm {R} }}r-{\frac {\rho '}{\mathrm {R} }}r'=2{\sqrt {rr'}}~;$

chassant les dénominateurs, transposant et formant les équations analogues, il viendra enfin

${\begin{aligned}&\rho r+2\mathrm {R} {\sqrt {rr'}}+\rho 'r'&&=\mathrm {R} c'',\\&\rho r+2\mathrm {R} {\sqrt {rr''}}+\rho ''r''&&=\mathrm {R} c',\\&\rho 'r'+2\mathrm {R} {\sqrt {r'r''}}+\rho ''r''&&=\mathrm {R} c~;\\\end{aligned}}$

ce sont là les équations du problème.

Si l’on pose $\qquad \qquad r'=rx'^{2},\qquad r''=rx''^{2},$
ces trois équations deviendront