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QUESTIONS.

de points harmoniques ont trois points qui coïncident, le quatrième point d’un système doit nécessairement coïncider avec le quatrième point de l’autre système^[1] ; donc les points $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {A''}$ coïncident et, d’autant que le premier doit être sur $\mathrm {AB}$ et le dernier sur $\mathrm {AC}$, ils se confondent l’un et l’autre avec l’intersection $\mathrm {A}$ de ces deux droites. La droite $ao$ passe donc par $\mathrm {A}$ et, pour des raisons semblables ; les droites $bp,cq$ doivent passer respectivement par $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} .$

6.^o Par l’un quelconque $r$ des sommets de l’hexagone, je mène à la courbe une tangente se terminant en $\mathrm {D}$ et $\mathrm {E}$ sur $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {BC}$ ; je mène $\mathrm {E} x$ qui se termine à $\mathrm {AB}$ en $\mathrm {F}$ ; enfin je mène $\mathrm {F} t$. D’autant que $\mathrm {E} r$ est une tangente issue du point $\mathrm {E}$ de $\mathrm {BC}$, dont le pôle est $o$, l’autre tangente issue du même point devra toucher la courbe au point $x$ extrémité de la corde $ro$ ; $\mathrm {EF}$ est donc cette autre tangente ; et, en la considérant comme issue du point $\mathrm {F}$ de $\mathrm {AB}$, dont le pôle est $q$, on voit que l’autre tangente issue du même point doit toucher la courbe en $t$, extrémité de la corde $xq$ ; $\mathrm {F} t$ est donc cette autre tangente, et conséquemment $\mathrm {ED}$ et $\mathrm {F} t$ sont des tangentes aux extrémités de la corde $rt$ passant par $p$, pôle de $\mathrm {AC}$ ; elles doivent donc concourir en un même point de cette droite, et par conséquent $\mathrm {F} t$ prolongée doit se terminer en $\mathrm {D}$ sur $\mathrm {AC}$. Ainsi les tangentes aux points $r,x,t$ forment un triangle dont les sommets sont sur les côtés du triangle $\mathrm {ABC}$ ; et il est clair que le triangle formé par les tangentes aux points $s,u,y,$ jouirait de la même propriété.

7.^o La courbe et le triangle $\mathrm {ABC}$ étant donnés, si l’on demande de construire le triangle $\mathrm {DEF}$, on voit que tout se réduira à construire le triangle $abc$, et pour cela il est clair qu’il faudra 1.^o dé-

1. Si, en effet, l’on a, à la fois,
   $da:d\alpha ::\mathrm {A'} a:\mathrm {A'} \alpha ,\qquad da:d\alpha ::\mathrm {A''} a:\mathrm {A''} \alpha ,$

   on en conclura

   $da-d\alpha :da::\mathrm {A'} a-\mathrm {A'} \alpha :\mathrm {A'} a,\qquad da-d\alpha :da::\mathrm {A''} a-\mathrm {A''} \alpha :\mathrm {A''} a~;$

   ou

   $\qquad da-d\alpha :da::a\alpha :\mathrm {A'} a,\qquad da-d\alpha :da::a\alpha :\mathrm {A''} a~;$

   d’où

   $\qquad \qquad \quad \mathrm {A'} a=\mathrm {A''} a.$
   (Note des éditeurs.)