Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/35

31

LOGARITHMIQUES.

par $m,$ ou, ce qui revient au même, après qu’on a fait $m=1,$ devient

$\left[x+{\frac {(\delta -1)(\lambda -1)}{\lambda }}\right]\left[x+{\frac {\lambda +\delta -1}{\lambda }}\right]\times$

$\left[x+{\frac {\mu (\delta -1)(\mu -1)}{(\delta -1)-\mu (\delta -2)}}\right]\left[x+{\frac {\mu (\mu +\delta -1)}{(\delta -1)-\mu (\delta -2)}}\right]=0\ldots \mathrm {(L)}$

et les deux valeurs de p fournissent de plus l’équation de condition

$\textstyle {\frac {(\delta -1)-\lambda (\delta -2)}{\lambda ^{2}}}={\frac {\mu ^{2}}{(\delta -1)-\mu (\delta -2)}}{\text{ ou }}{\frac {\phi -\lambda (\phi -1)}{\lambda ^{2}}}={\frac {\mu ^{2}}{\phi -\mu (\phi -1)}}\ldots \mathrm {(M)}$

en faisant $\delta -1=\phi$. C’est à la résolution de cette dernière équation qu’est présentement réduite toute la difficulté.

16. En tirant de l’équation $\mathrm {(M)}$ la valeur de $\mu$, il viendra

$\mu ={\frac {1}{2\lambda ^{2}}}\left\{\lambda (\phi -1)^{2}-\phi (\phi -1)\pm \right.$

$\left.{\sqrt {(\lambda -1)^{2}\phi ^{4}-2(\lambda -1)(2\lambda -1)\phi ^{3}-(4\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+6\lambda -1)\phi ^{2}+(2\lambda ^{2}-2\lambda +1)\phi +\lambda ^{2}}}\right\}\,;$

et, cette expression devant être rationnelle, 1.^o si on suppose la quantité soumise au radical égale $\left[-(\lambda -1)\phi ^{2}+k\phi +\lambda \right]^{2}$ on aura

${\begin{array}{rrrr}(\lambda -1)^{2}\phi ^{4}-&2(\lambda -1)(2\lambda -1)\phi ^{3}-&(4\lambda ^{3}-10\lambda ^{2}+6\lambda -1)\phi ^{2}+&2\lambda (2\lambda ^{2}-2\lambda +1)\phi +\lambda ^{2}\\=(\lambda -1)^{2}\phi ^{4}-&2(\lambda -1)k\phi ^{3}-&2\lambda (\lambda -1)\phi ^{2}+&2k\lambda \phi +\lambda ^{2}\\&+&k^{1}\phi ^{2}\quad &\,;\\\end{array}}$

égalant ensuite les coefficiens de $\phi$, on trouvera $k=2\lambda ^{2}-2\lambda +1$, et l’équation ci-dessus donnera $\phi ={\frac {\lambda (\lambda +1)}{\lambda -1}}$. Enfin, cette valeur étant mise dans celle de $\mu$, on aura $\mu =\lambda {\text{ ou }}\mu ={\frac {\lambda +1}{\lambda -1}}$ ; chacune de ces dernières valeurs donnera, au lieu de l’équation $\mathrm {(L)}$, celle-ci

$\left[x^{2}-(\lambda +1)^{2}\right]\left[x^{2}-{\frac {4\lambda ^{2}}{(\lambda -1)^{2}}}\right]=0$,