Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/339

327

ÉLIMINATION.

Équations données :$\left\{{\begin{aligned}0=&3y^{4}-22y^{3}+46y^{2}-31y+6,\\0=&73y^{3}-358y^{2}+184y+21.\\\end{aligned}}\right.$

${\begin{array}{llll}A=+\,\ 3,&a=+\,\ 73,&Ab-Ba=+\,\ 532,&a'=+14382=+14382\cdot 1,\\B=-22,&b=-358,&Ac-Ca=-2806,&b'=-71910=-14382\cdot 5,\\C=+46,&c=+184,&Ad-Da=+2326,&c'=+43146=+14382\cdot 3,\\D=-31,&d=+\,\ 21,&Ae-Ea=-\,\ 438\,;\\E=+\,\ 6~;\end{array}}$

Troisième équation : $0=y^{2}-5y+3.$

Troisième opération.

Équations données :$\left\{{\begin{aligned}0=&73y^{3}-358y^{2}+184y+21,\\0=&y^{2}-5y+3.\\\end{aligned}}\right.$

${\begin{array}{llll}A=+\,\ 73,&a=+1,&Ab-Ba=-\,\ 7,&a'=0,\\B=-358,&b=-5,&Ac-Ca=+35,&b'=0,\\C=+184,&c=+3,&Ad-Da=-21~;\\D=+\,\ 21~;\\\end{array}}$

Troisième équation : $0=0.$

Cette équation identique, $0=0,$ nous apprend donc que $y^{2}-5y+3$ est le diviseur commun des deux polynômes proposés.

5. La recherche du facteur commun le plus élevé, entre deux polynômes proposés, conduit à la détermination des racines égales. Dans mon Arithmétique universelle (page 268) j’ai démontré le théorème général qui suit : Si l’on désigne par, $\mathrm {X} '$ le commun diviseur le plus élevé entre le polynôme $\mathrm {X}$ et sa première dérivée $\operatorname {D} \mathrm {X}$ ; par $\mathrm {X} ''$ le commun diviseur le plus élevé entre $\mathrm {X} '$ et sa première dérivée $\operatorname {D} \mathrm {X} '$ ; par $\mathrm {X} '''$ le commun diviseur le plus élevé entre $\mathrm {X} ''$ et sa première dérivée $\operatorname {D} \mathrm {X} '',$ et ainsi de suite ; le produit des facteurs simples de $\mathrm {X}$ sera $\mathrm {\frac {XX''}{X'^{2}}} ~;$ celui des facteurs doubles $\mathrm {\frac {X'X'''}{X''^{2}}} ~;$ celui des facteurs