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RÉSOLUES.

${\begin{aligned}2\mathrm {(I\ I'\ -GG')=AF-CC'} ,&\qquad 2\mathrm {(HH'-GG')=AB-CC'} ,\\2\mathrm {(AI'-AG')=AE-AC'} ,&\qquad 2\mathrm {(AH'-AG')=AD-AC'} \,;\end{aligned}}$

ou encore

${\begin{aligned}&2\,\mathrm {I\ K=AF-CC'} ,&&2\mathrm {HL=AB-CC'} \\&2\mathrm {GK=EC'} ,&&2\mathrm {GL=DC'} \end{aligned}}$

donc

$\mathrm {(II)\qquad IK:GK::AF-CC':EC',\qquad HL:GL::AB-CC':DC'}$

Multipliant les proportions $\mathrm {(I)}$ par les proportions $\mathrm {(II)}$, en supprimant les facteurs communs aux antécédens, il viendra

$\mathrm {IK:AC'\times GK::CC':DC'\times EC',HL:AC'\times GL::CC':DC'\times EC'~;}$

d’où on conclura, à cause du rapport commun,

$\mathrm {IK:AC'\times GK::HL:AC'\times GL~;}$

ou simplement

$\mathrm {IK:GK::HL:GL~;}$

ce qui démontre que les trois points $\mathrm {G,H,I,}$ sont sur une même ligne droite.