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QUESTIONS.

$2(a\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\gamma +b\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma )\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\gamma ~;$

et, comme on pourra établir le point $\mathrm {Z}$ en $\mathrm {O}$ ou en $\mathrm {K}$, on pourra rendre nulle l’une des deux branches de route $\mathrm {ZO}$ et $\mathrm {ZM}$.

3.^o L’angle $\mathrm {BAC}$, formé par les directions des canaux, étant plus grand que $60^{\circ }$ ; si la situation $\mathrm {O}$ de la ville est telle (fig. 8) que l’on ait $\mathrm {Ang.BAC+Ang.OAC} <90^{\circ }$^[1] ; il faudra (fig. 7) abaisser du point $\mathrm {O}$ sur $\mathrm {AC}$ la perpendiculaire $\mathrm {OE}$ que l’on prolongera d’une quantité $\mathrm {EF=EO~;}$ abaissant alors du point $\mathrm {F}$ sur $\mathrm {AB}$ la perpendiculaire $\mathrm {FN}$, coupant $\mathrm {AC}$ en $\mathrm {Z}$, les ponts devront être établis en $\mathrm {N}$ et $\mathrm {Z}$, et on communiquera de la ville à l’un et à l’autre, par les routes $\mathrm {OZ}$ et $\mathrm {ZN}$, dont la longueur totale sera

$a\operatorname {Sin} .\gamma +b\operatorname {Cos} .\gamma ~;$

de manière que $\mathrm {ZM}$ sera nulle.

4.^o L’angle $\mathrm {BAC}$ étant toujours plus grand que $60^{\circ }~;$ si la ville est tellement située (fig. 10) que l’angle $\mathrm {BAO}$ soit droit, il ne faudra qu’un pont unique, lequel devra être établi à l’intersection $\mathrm {A}$ des deux canaux, ou, si cela est impraticable, les deux ponts devront être établis le plus proche de $\mathrm {A}$ qu’il se pourra. $\mathrm {ZM}$ et $\mathrm {ZN}$ seront alors nuls, et la longueur de la route unique $\mathrm {OA}$ sera

${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

5.^o Enfin, si la ville est tellement située (fig. 9) que l’angle $\mathrm {BAO}$ soit obtus, en abaissant du point $\mathrm {O}$ sur le prolongement de $\mathrm {AB}$ la perpendiculaire $\mathrm {ON}$, coupant $\mathrm {AC}$ en $\mathrm {Z}$ ; les points $\mathrm {Z}$ et $\mathrm {N}$ seront ceux où il faudra établir les deux ponts ; $\mathrm {ZM}$ sera alors nulle, et $\mathrm {ZO}$ et $\mathrm {ZN}$ ne formeront qu’une droite unique $\mathrm {ON}$ dont la longueur totale sera

1. On suppose, dans ceci, que le côté $\mathrm {AC}$ de l’angle $\mathrm {BAC}$ est celui duquel le point $\mathrm {O}$ se trouve le plus voisin.