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FORMULES.

ou, en multipliant toutes les racines par $\delta$

$\left.{\begin{aligned}x^{2}\left[x+p+m(\delta -1)\right]\left[x+m+p(\delta -1)\right]=0&,\\\left[x^{2}+m\delta x+(m-p)(\delta -1)\right]\left[x^{2}+p\delta x-p(m-p)(\delta -1)\right]=0&.\\\end{aligned}}\right\}\mathrm {(H)}$

14. Avant de parler d’une manière générale de la décomposition du premier membre de l’équation principale en facteurs linéaires, nous ferons observer ici deux cas dans lesquels cette décomposition s’effectue avec beaucoup de facilité,

1.^o Lorsque $\delta =0$, les équations $\mathrm {(H)}$ deviennent

$x^{2}\left[x^{2}-(m-p)^{2}\right]=0$,

et $\qquad \qquad \qquad \left[x^{2}-m(m-p)\right]\left[x^{2}+p(m-p)\right]=0\,;$

ou, en divisant les racines par ${\sqrt {m-p}}$,

$x^{2}\left[x^{2}-(m-p)\right]=0$,

et

$\left[x^{2}-m\right]\left[x^{2}+p\right]=0\,;$

dans cet état, pour que les racines de l’équation principale soient commensurables, il suffit de faire $m=b^{2}{\text{ et}}p=-c^{2}$ ; mais alors la rationalité des racines de la résultante exige que $b^{2}+c^{2}$ soit un carré.

On satisfait à cette condition en faisant

$b^{2}+c^{2}=(a+c)^{2}=a^{2}+2ac+c^{2}$,

ce qui donne

$c={\frac {b^{2}-a^{2}}{2a}}\quad {\text{ et}}\quad b^{2}+c^{2}={\frac {(a^{2}+b^{2})}{4a^{2}}}$ ;

valeurs qui changent l’équation résultante, et la principale, après qu’on a multiplié leurs racines par $2a$, en

$\left.{\begin{array}{lr}&x^{2}\left[x^{2}-(a^{2}+b^{2})^{2}\right]=0,\\{\text{et}}&\left[x^{2}-4a^{2}b^{2}\right]\left[x^{2}-(a^{2}-b^{2})^{2}\right]=0,\\{\text{ou}}&x^{4}-(a^{2}+b^{2})^{2}x^{2}+4a^{2}b^{2}(a^{2}-b^{2})^{2}=0.\\\end{array}}\right\}\mathrm {(I)}$