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RÉSOLUES.

M. Lhuilier confirme ces résultats du calcul différentiel, tant pour des points compris dans un même plan, que pour des points situés d’une manière quelconque dans l’espace, par des considérations fort simples que voici :

Par le point cherché soit fait passer une droite quelconque $\mathrm {PP'}$ (fig. 2) ; que $\mathrm {A}$ soit un des points donnés, et que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ ; soient deux points pour lesquels les sommes des distances aux points donnés soient égales ; il est clair que, si le point $\mathrm {P}$ devient le point cherché, le point $\mathrm {P'}$ devra se confondre avec lui.

Cela posé, des points $\mathrm {A}$ comme centres, et avec les distances $\mathrm {AP}$ pour rayons, soient décrits des arcs $\mathrm {P} p$, rencontrant en $p$ les droites $\mathrm {AP'}$.

Puisque $\sum \mathrm {(AP)=\sum (AP')}$, il s’ensuit que $\sum (\mathrm {P'} p)=0$ ; donc aussi

${\frac {\sum (\mathrm {P'} p)}{\mathrm {PP'} }}\quad$ou$\quad \sum \left({\frac {\mathrm {P'} p}{\mathrm {PP'} }}\right)=0$ ;

mais

$\mathrm {limite} {\frac {\mathrm {P'} p}{\mathrm {PP'} }}=\operatorname {Cos} .\mathrm {AP'P} \ ;\quad$donc$\quad \sum (\operatorname {Cos} .\mathrm {AP'P} )=0.$

ce qui ramène à la proposition déjà énoncée.

M. Lhuilier termine par observer que la méthode différentielle, ainsi que cette dernière, s’appliquent également au cas où ce ne serait pas précisément la somme des distances du point cherché aux points donnés qui devrait être la plus petite, mais la somme des produits de ces distances par des nombres donnés, ou la somme de leurs puissances ayant le même exposant, ou enfin la somme des produits de ces puissances par des nombres donnés.