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QUESTIONS.

côtés ; voici, à peu près de quelle manière il y parvient.

Soient $\mathrm {AA'A''}$ (fig. 1) le triangle donné, et $\mathrm {P}$ le point cherché ; soit circonscrit un cercle au triangle et soient prolongés $\mathrm {PA,PA',PA''}$, jusqu’à ce qu’elles rencontrent de nouveau la circonférence en $\mathrm {B,B',B''}$ ; soit enfin formé le triangle $\mathrm {BB'B''}$.

L’angle $\mathrm {B}$ ayant pour mesure la moitié de l’arc $\mathrm {B'B''}$ et l’angle $\mathrm {A}$ ayant pour mesure la moitié de l’arc $\mathrm {A'A''}$, il s’ensuit que la somme des angles $\mathrm {A,B}$, a pour mesure la demi-somme des arcs $\mathrm {A'A'}$, $\mathrm {B'B''} ,$ laquelle est aussi la mesure de l’angle $\mathrm {A'PA''}$ ou ${\tfrac {2}{3}}\varpi$; et, comme il en irait de même pour les angles $\mathrm {B',B''} ,$ comparés aux angles $\mathrm {A',A''}$, on doit avoir

$\qquad \left.{\begin{array}{rl}\mathrm {A+B} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi ,\\\mathrm {A'+B'} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi ,\\\mathrm {A''+B''} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi \ ;\\\end{array}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{array}{rl}\mathrm {B} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi -A,\\\mathrm {B'} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi -A',\\\mathrm {B''} =&{\tfrac {2}{3}}\varpi -A''.\\\end{array}}\right.$

La similitude des triangles $\mathrm {APA''}$, $\mathrm {B''PB}$, d’une part, et celle des triangles $\mathrm {A'PA''}$, $\mathrm {B''PB'}$ de l’autre, donnent les deux équations

$\mathrm {AP\times BB''=B''P\times AA'',\qquad A'P\times B'B''=B''P\times A'A''\ ;}$

d’où on déduit, en divisant et réduisant,

$\mathrm {{\frac {AP}{A'P}}\times {\frac {BB''}{B'B''}}={\frac {AA''}{A'A''}}\quad } {\text{ou}}\quad \mathrm {{\frac {AP}{A'P}}={\frac {AA''}{A'A''}}\times {\frac {\operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -A)}{\operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -A')}}} \ ;$

c’est-à-dire,

$\mathrm {A'A''\times AP} \times \operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -\mathrm {A')=AA''\times A'P} \times \operatorname {Sin} .({\tfrac {2}{3}}\varpi -\mathrm {A} );$

enfin le triangle $\mathrm {APA} '$ donne, à cause de $\operatorname {Cos} .\mathrm {P} =-{\tfrac {2}{3}}$,

$\mathrm {AP^{2}+AP\times A'P+A'P^{2}=AA'^{2}.}$

La combinaison de ces deux équations fera donc connaître $\mathrm {AP}$ et $\mathrm {AP'}$ ; et on déterminera ensuite chacun des deux angles $\mathrm {PA'A}$ et $\mathrm {PAA'}$ par les divers procédés connus de la trigonométrie.

Après cette digression, M. Lhuilier, revenant à la question principale, annonce que le point du plan d’un quadrilatère dont la somme des distances à ses sommets est la plus petite, est le point d’intersection des deux diagonales de ce quadrilatère. Il ne démontre pas