conséquemment, dans la première, un terme correspondant
Maintenant, étant commensurable avec , on aura, d’après l’hypothèse ,
La relation étant démontrée vraie, tandis que la relation est douteuse, leur combinaison est propre à fixer notre jugement sur cette relation . Multiplions donc par ordre les relations , ; il viendra, en réduisant,
Or, cette relation est absurde ; car son premier rapport est , tandis que son second rapport est au contraire ; donc la relation est impossible ; et, attendu qu’elle est une conséquence inévitable de la relation , il en résulte que cette dernière ne peut être admise ; et comme, d’un autre côté, on ne peut la rejeter sans admettre la relation , il s’ensuit que cette relation a lieu en effet, malgré l’incommensurabilité supposée entre et .
La proportionnalité entre tous les termes correspondans des deux séries est donc une suite nécessaire de la proportionnalité entre ceux de ces termes qui sont commensurables.
Ce mode de raisonnement, qui ne laisse rien à désirer du côté de la rigueur, nous semble présenter deux avantages principaux sur celui qu’il est d’usage d’employer dans tous les cas de cette nature. 1.o Ce que nous disons d’un rapport pouvant être également appliqué à l’autre, nous nous trouvons dispensés de la contre-épreuve à laquelle on est explicitement ou implicitement assujéti dans l’application des méthodes usitées ; 2.o notre théorème général, une fois démontré, s’applique avec la plus grande facilité aux lignes proportionnelles, aux angles comparés aux arcs, aux aires des rectangles de même base, aux angles dièdres comparés aux angles plans, aux volumes des parallèlipipèdes
