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RÉSOLUES.

soit, enfin, $\mathrm {P}$ l’aire du polygone dont les sommets des angles sont situes aux points donnés ; on aura

$(3)\qquad ab\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +bc\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +cd\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +de\operatorname {Sin} .\mathrm {D} +\ldots =2\mathrm {P} .$

Si le polygone est absolument donné, il y aura nécessairement, entre les distances $a,b,c,d,\dots \dots ,$ des relations indépendantes des angles $\mathrm {A,B,C,D} ,\dots \dots$: attendu que, deux de ces distances étant données, toutes les autres peuvent en être déduites. Néanmoins, si l’on suppose que ce n’est pas proprement le polygone, mais seulement son aire $\mathrm {P}$, qui est donnée, il sera alors permis de considérer $a,b,c,d,\dots \dots ,$ comme des variables absolument indépendantes, et on déduira de l’équation $(3)$

$\left.{\begin{aligned}&(a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} ).\delta b&&+ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} .\delta \mathrm {A} \\+&(b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} ).\delta c&&+bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\delta \mathrm {B} \\+&(c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} ).\delta d&&+cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} .\delta \mathrm {C} \\+&\ldots \ldots &&+\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=0\qquad (4).$

Mais l’équation $(1)$ revient à

$\delta a+\delta b+\delta c+\delta d+\ldots \ldots =0\ ;\qquad (5)$

et l’équation $(2)$ donne

$\delta \mathrm {A} +\delta \mathrm {B} +\delta \mathrm {C} +\delta \mathrm {D} +\ldots \ldots =0\ ;\qquad (6)$

ajoutant donc à l’équation (4) les produits des équations (5) et (6) par deux multiplicateurs indéterminés $-\lambda$ et $-\mu$, il viendra :

$\left.{\begin{array}{lll}&(a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} -\lambda ).\delta b&+(ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} -\mu ).\delta \mathrm {A} \\+&(b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} -\lambda ).\delta c&+(bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} -\mu ).\delta \mathrm {B} \\+&(c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} -\lambda ).\delta d&+(cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} -\mu ).\delta \mathrm {C} \\+&\ldots \ldots &+\ldots \ldots \\\end{array}}\right\}=0\ ;$

équation dans laquelle il sera permis de considérer les variations $\delta a,\;\delta b,\;\delta c,\ldots \ ;\;\delta \mathrm {A} ,\;\delta \mathrm {B} ,\;\delta \mathrm {C} ,\ldots ,$ comme absolument indépendantes, et de laquelle on déduira conséquemment

$a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} =\,\lambda ,b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} =\,\lambda ,c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} =\,\lambda ,\ldots$

$ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =\mu ,\quad bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =\mu ,\quad cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =\mu ,\ldots$