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RÉSOLUES.
soit, enfin,
l’aire du polygone dont les sommets des angles sont situes aux points donnés ; on aura
Si le polygone est absolument donné, il y aura nécessairement, entre les distances
des relations indépendantes des angles
: attendu que, deux de ces distances étant données, toutes les autres peuvent en être déduites. Néanmoins, si l’on suppose que ce n’est pas proprement le polygone, mais seulement son aire
, qui est donnée, il sera alors permis de considérer
comme des variables absolument indépendantes, et on déduira de l’équation
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&(a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} ).\delta b&&+ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} .\delta \mathrm {A} \\+&(b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} ).\delta c&&+bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} .\delta \mathrm {B} \\+&(c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} ).\delta d&&+cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} .\delta \mathrm {C} \\+&\ldots \ldots &&+\ldots \ldots \end{aligned}}\right\}=0\qquad (4).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5b4515e1d84717a7bf65bf3e5da4730309791ef)
Mais l’équation
revient à
![{\displaystyle \delta a+\delta b+\delta c+\delta d+\ldots \ldots =0\ ;\qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5c37356ea215f25120ad7b23106b1241f3774a)
et l’équation
donne
![{\displaystyle \delta \mathrm {A} +\delta \mathrm {B} +\delta \mathrm {C} +\delta \mathrm {D} +\ldots \ldots =0\ ;\qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc95ce1e89e9329b37c3f7ce1edddbcd0f76a7d8)
ajoutant donc à l’équation (4) les produits des équations (5) et (6) par deux multiplicateurs indéterminés
et
, il viendra :
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}&(a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} -\lambda ).\delta b&+(ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} -\mu ).\delta \mathrm {A} \\+&(b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} -\lambda ).\delta c&+(bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} -\mu ).\delta \mathrm {B} \\+&(c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} -\lambda ).\delta d&+(cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} -\mu ).\delta \mathrm {C} \\+&\ldots \ldots &+\ldots \ldots \\\end{array}}\right\}=0\ ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3529966d086ede513cd260b5a64a2340986cf69b)
équation dans laquelle il sera permis de considérer les variations
comme absolument indépendantes, et de laquelle on déduira conséquemment
![{\displaystyle a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} =\,\lambda ,b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +d\operatorname {Sin} .\mathrm {C} =\,\lambda ,c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +e\operatorname {Sin} .\mathrm {D} =\,\lambda ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0a6bc04e3e7df23e7f6b1c20cde9f0209097776)
![{\displaystyle ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =\mu ,\quad bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =\mu ,\quad cd\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =\mu ,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204556475cced4f35c245ad47bac55cbfef2c7a5)